Trzy proste przecinają się w punktach A, B i C tak, jak pokazano na rysunku

Trzy proste przecinają się w punktach $A$, $B$ i $C$ tak, jak pokazano na rysunku. Odcinki $AC$ i $BC$ są równej długości. Wykaż, że miara kąta $α$ stanowi połowę miary kąta $β$.

Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Jeżeli odcinki $AC$ i $BC$ są równej długości, to trójkąt $ABC$ jest równoramienny. W trójkątach równoramiennych kąty przy podstawie mają jednakową miarę, więc $|\sphericalangle CAB|=\alpha$. Dodatkowo oznaczmy sobie kąt $ACB$ jako $\gamma$ i mamy taką oto sytuację:
egzamin ósmoklasisty

Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Skoro suma miar kątów w trójkącie $ACB$ jest równa $180°$, a kąty przy podstawie mają miarę $\alpha$, to:
$$2\alpha+\gamma=180°$$

Do miary kąta $ACB$ możemy też podejść z innej perspektywy. Kąt $\beta$ oraz kąt $ACB$ są kątami przyległymi. To prowadzi nas do wniosku, że:
$$\beta+\gamma=180°$$

Porównując teraz otrzymane dwa zapisy wyjdzie nam, że:
$$2\alpha+\gamma=\beta+\gamma \\
2\alpha=\beta \\
\alpha=\frac{1}{2}\beta$$

W ten sposób udało nam się wykazać, że kąt $\alpha$ stanowi połowę miary kąta $\beta$.

Odpowiedź

Udowodniono, korzystając z własności trójkątów równoramiennych oraz kątów przyległych.

Zadania

Trzy proste przecinają się w punktach A, B i C tak, jak pokazano na rysunku

Trzy proste przecinają się w punktach \(A\), \(B\) i \(C\) tak, jak pokazano na rysunku. Odcinki \(AC\) i \(BC\) są równej długości. Wykaż, że miara kąta \(α\) stanowi połowę miary kąta \(β\).