Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy r=-4. Jeśli pierwszą i drugą liczbę powiększymy o 3

Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \(r=-4\). Jeśli pierwszą i drugą liczbę powiększymy o \(3\), a trzecią powiększymy o \(4\), to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Oblicz liczby tworzące ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny.

Rozwiązanie

Krok 1. Zapisanie wyrazów ciągu arytmetycznego.
Z treści zadania wynika, że różnica ciągu arytmetycznego jest równa \(r=-4\). Skoro tak, to możemy zapisać, że:
Pierwszy wyraz ciągu arytm.: \(a_{1}\)
Drugi wyraz ciągu arytm.: \(a_{1}-4\)
Trzeci wyraz ciągu arytm.: \(a_{1}-2\cdot4=a_{1}-8\)

Krok 2. Zapisanie wyrazów ciągu geometrycznego.
Zgodnie z treścią zadania możemy zapisać, że:
Pierwszy wyraz ciągu geom.: \(a_{1}+3\)
Drugi wyraz ciągu geom.: \(a_{1}-4+3=a_{1}-1\)
Trzeci wyraz ciągu geom.: \(a_{1}-8+4=a_{1}-4\)

Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
W ciągu geometrycznym dla trzech kolejnych wyrazów zachodzi następująca równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiając zapisane przed chwilą wyrazy ciągu geometrycznego otrzymamy:
$$(a_{1}-1)^2=(a_{1}+3)\cdot(a_{1}-4) \\
{a_{1}}^2-2a_{1}+1^2={a_{1}}^2-4a_{1}+3a_{1}-12 \\
-2a_{1}+1=-a_{1}-12 \\
-a_{1}=-13 \\
a_{1}=13$$

Krok 4. Obliczenie wartości wyrazów ciągu arytmetycznego oraz geometrycznego.
Korzystając z oznaczeń, które zapisaliśmy sobie w pierwszym i drugim kroku otrzymamy:
Pierwszy wyraz ciągu arytm.: \(13\)
Drugi wyraz ciągu arytm.: \(13-4=9\)
Trzeci wyraz ciągu arytm.: \(13-8=5\)

Pierwszy wyraz ciągu geom.: \(13+3=16\)
Drugi wyraz ciągu geom.: \(13-1=12\)
Trzeci wyraz ciągu geom.: \(13-4=9\)

Możemy więc powiedzieć, że ciąg arytmetyczny tworzą liczby \(13,9,5\), a ciąg geometryczny tworzą liczby \(16,12,9\).

Odpowiedź

Ciąg arytmetyczny: \(13,9,5\). Ciąg geometryczny: \(16,12,9\).

Dodaj komentarz