Trójkąty prostokątne równoramienne ABC i CDE są położone tak, jak na poniższym rysunku

Trójkąty prostokątne równoramienne $ABC$ i $CDE$ są położone tak, jak na poniższym rysunku (w obu trójkątach kąt przy wierzchołku $C$ jest prosty). Wykaż, że $|AD|=|BE|$.

Rozwiązanie:

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Naszkicujmy rysunek pomocniczy, na którym zaznaczymy wymagane odcinki $AD$ oraz $BE$ (patrz kolor niebieski).

Krok 2. Udowodnienie, że trójkąty $ACD$ i $BCE$ są przystające (cecha bok-kąt-bok).

Z treści zadania wynika, że $|AC|=|BC|$ (patrz: kolor zielony) oraz $|DC|=|EC|$ (patrz: kolor pomarańczowy).
Jeśli jeszcze wykażemy, że trójkąty $ACD$ i $BCE$ mają identyczną miarę kąta przy wierzchołku $C$, to będziemy mogli stwierdzić, że trójkąty $ACD$ i $BCE$ są przystające. Jeśli tak rzeczywiście będzie, to będzie to oznaczało, że i trzecia para boków jest równej długości, czyli że $|AD|=|BE|$.

Zaznaczmy sobie na rysunku miary poszczególnych kątów.

Z zadania możemy wyczytać, że $\sphericalangle ACB=90°$ oraz $\sphericalangle DCE=90°$, a więc:
$$α=90°-β \\
γ=90°-β$$

Wykazując, że kąty $α$ oraz $γ$ są równej miary zakończyliśmy dowodzenie, bo już wiemy, że trójkąty $ACD$ i $BCE$ są przystające na mocy cechy bok-kąt-bok, a więc $|AD|=|BE|$.

Odpowiedź:

Udowodniono, że $|AD|=|BE|$ za pomocą trójkątów przystających (cecha bok-kąt-bok).

Zadania

Trójkąty prostokątne równoramienne ABC i CDE są położone tak, jak na poniższym rysunku

Trójkąty prostokątne równoramienne \(ABC\) i \(CDE\) są położone tak, jak na poniższym rysunku (w obu trójkątach kąt przy wierzchołku \(C\) jest prosty). Wykaż, że \(|AD|=|BE|\).