Trójkąt równoboczny ABC ma pole równe 9√3. Prosta równoległa do boku BC przecina boki AB i AC

Trójkąt równoboczny \(ABC\) ma pole równe \(9\sqrt{3}\). Prosta równoległa do boku \(BC\) przecina boki \(AB\) i \(AC\) – odpowiednio – w punktach \(K\) i \(L\). Trójkąty \(ABC\) i \(AKL\) są podobne, a stosunek długości boków tych trójkątów jest równy \(\frac{3}{2}\). Oblicz długość boku trójkąta \(AKL\).

Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Choć w tym zadaniu rysunek nie jest może priorytetem, to zobrazujmy sobie tę sytuację, tak aby zrozumieć co liczymy:
matura z matematyki

Krok 2. Obliczenie długości boku trójkąta \(ABC\).
Skoro pole trójkąta \(ABC\) jest równe \(9\sqrt{3}\), to korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego możemy zapisać, że:
$$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
9\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
36\sqrt{3}=a^2\sqrt{3} \\
a^2=36 \\
a=6 \quad\lor\quad a=-6$$

Długość boku musi być oczywiście dodatnia, zatem zostaje nam \(a=6\).

Krok 3. Obliczenie długości boków trójkąta \(AKL\).
Z treści zadania wynika, że skala podobieństwa wynosi \(k=\frac{3}{2}\). I teraz trzeba być ostrożnym - skala jest większa od \(1\), a większym trójkątem jest trójkąt \(ABC\). To prowadzi nas do wniosku, że:
$$\frac{|AB|}{|AK|}=\frac{3}{2} \\
\frac{6}{|AK|}=\frac{3}{2} \\
6=\frac{3}{2}\cdot|AK| \\
|AK|=4$$

Skoro trójkąt \(AKL\) jest trójkątem podobnym, to tak jak trójkąt \(ABC\) musi być równoboczny. To oznacza, że wszystkie boki trójkąta \(AKL\) mają długość równą \(4\).

Odpowiedź

\(a=4\)

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments