Rozwiązanie
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Choć w tym zadaniu rysunek nie jest może priorytetem, to zobrazujmy sobie tę sytuację, tak aby zrozumieć co liczymy:
Krok 2. Obliczenie długości boku trójkąta \(ABC\).
Skoro pole trójkąta \(ABC\) jest równe \(9\sqrt{3}\), to korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego możemy zapisać, że:
$$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
9\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
36\sqrt{3}=a^2\sqrt{3} \\
a^2=36 \\
a=6 \quad\lor\quad a=-6$$
Długość boku musi być oczywiście dodatnia, zatem zostaje nam \(a=6\).
Krok 3. Obliczenie długości boków trójkąta \(AKL\).
Z treści zadania wynika, że skala podobieństwa wynosi \(k=\frac{3}{2}\). I teraz trzeba być ostrożnym - skala jest większa od \(1\), a większym trójkątem jest trójkąt \(ABC\). To prowadzi nas do wniosku, że:
$$\frac{|AB|}{|AK|}=\frac{3}{2} \\
\frac{6}{|AK|}=\frac{3}{2} \\
6=\frac{3}{2}\cdot|AK| \\
|AK|=4$$
Skoro trójkąt \(AKL\) jest trójkątem podobnym, to tak jak trójkąt \(ABC\) musi być równoboczny. To oznacza, że wszystkie boki trójkąta \(AKL\) mają długość równą \(4\).
dlaczego nagle pojawia się 36 pierwiastków z 3?
Bo mnożymy tam obydwie strony równania przez 4, tak aby pozbyć się ułamka ;)
Skąd wyszło że a równa się 4?
Obliczyliśmy to w trzecim kroku ;)