Trójkąt przedstawiony na rysunku jest ścianą boczną ostrosłupa prawidłowego trójkątnego. Oblicz pole powierzchni

Trójkąt przedstawiony na rysunku jest ścianą boczną ostrosłupa prawidłowego trójkątnego.

egzamin ósmoklasisty



Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie pola podstawy.
egzamin ósmoklasisty

Wiemy, że ostrosłup jest ostrosłupem prawidłowym trójkątnym. To oznacza, że w podstawie musi znaleźć się trójkąt równoboczny. Z rysunku możemy od razu odczytać, że długość boku tego trójkąta znajdującego się w podstawie jest równa \(2cm\) (patrz rysunek), a skoro tak, to pole podstawy będzie równe:
$$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{2^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{4\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\sqrt{3}[cm^2]$$

Krok 2. Obliczenie wysokości ściany bocznej.
Do obliczenia pola powierzchni całkowitej potrzebujemy znać jeszcze pola ściany bocznej. Aby ją obliczyć musimy poznać wysokość trójkąta i tu skorzystamy z Twierdzenia Pitagorasa oraz z własności trójkątów równoramiennych, która mówi nam że wysokość takiego trójkąta dzieli podstawę na dwie równe części.
egzamin ósmoklasisty

Z Twierdzenia Pitagorasa otrzymamy:
$$1^2+h^2=7^2 \\
1+h^2=49 \\
h^2=48 \\
h=\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot3}=4\sqrt{3}[cm]$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni pojedynczej ściany bocznej.
Wiemy już, że w ścianie bocznej znajduje się trójkąt o podstawie \(2cm\) oraz wysokości \(4\sqrt{3}cm\), zatem jego pole powierzchni będzie równe:
$$P_{b}=\frac{1}{2}\cdot2\cdot4\sqrt{3} \\
P_{b}=1\cdot4\sqrt{3} \\
P_{b}=4\sqrt{3}[cm^2]$$

Krok 4. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Na pole powierzchni całkowitej składają się jedna podstawa oraz trzy ściany boczne, zatem:
$$P_{c}=P_{p}+3P_{b} \\
P_{c}=\sqrt{3}+3\cdot4\sqrt{3} \\
P_{c}=\sqrt{3}+12\sqrt{3} \\
P_{c}=13\sqrt{3}[cm^2]$$

Odpowiedź

Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest równe \(13\sqrt{3}cm^2\).

Dodaj komentarz