Egzamin ósmoklasisty 2020 - matematyka
Arkusz zawiera 15 zadań zamkniętych oraz 6 zadań otwartych. Łącznie do zdobycia jest 30 punktów, a sugerowany maksymalny czas rozwiązywania to około 100 minut.
Zadanie 1. (1pkt) Rowerzysta uczestniczył w rajdzie rowerowym. Całą trasę rajdu pokonał w ciągu czterech dni. W tabeli poniżej przedstawiono długości kolejnych etapów trasy, które przebył każdego dnia.
Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
W poniedziałek i wtorek rowerzysta przejechał łącznie \(\bbox[5px,border:1px solid]{A}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{B}\) długości całej trasy rajdu.
W środę rowerzysta przejechał \(\bbox[5px,border:1px solid]{C}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{D}\) długości całej trasy rajdu.
Zadanie 2. (1pkt) Wartość wyrażenia \(\frac{5}{7}-\frac{2}{7}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)\) jest równa:
Zadanie 3. (1pkt) Trzej właściciele firmy - Adam, Janusz i Oskar - kupili samochód dostawczy za kwotę \(154\;000zł\). Kwoty wpłacone przez Adama, Janusza i Oskara są - odpowiednio - w stosunku \(2:3:6\). Jaką kwotę wpłacił Janusz?
Zadanie 4. (1pkt) Na przedstawionym poniżej fragmencie osi liczbowej oznaczono cztery punkty: \(R, S, T, W\). Współrzędne punktów \(S\) i \(W\) są równe \(287\) i \(311\). Odcinek \(RW\) jest podzielony na pięć równych części.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.
Współrzędne punktów \(R\) i \(T\) różnią się o \(24\).
Współrzędna punktu \(R\) jest równa \(271\).
Zadanie 5. (1pkt) Pociąg o długości \(l=150m\) przejechał przez tunel o długości \(d=350m\) ze stałą prędkością \(v=20\frac{m}{s}\).
Ile czasu upłynęło od momentu wjazdu czoła pociągu do tunelu (rysunek 1.) do momentu wyjazdu z tunelu końca ostatniego wagonu (rysunek 2.)?
Zadanie 6. (1pkt) Wartość wyrażenia \(\sqrt{3}(\sqrt{27}-\sqrt{12})\) jest równa:
Zadanie 7. (1pkt) Która z podanych niżej liczb nie jest równa \(3^{15}\)?
Zadanie 8. (1pkt) Na diagramie przedstawiono wyniki (w centymetrach) uzyskane przez zawodników uczestniczących w finale konkursu skoku wzwyż.
Ilu zawodników uzyskało wynik wyższy od średniej arytmetycznej wyników wszystkich uczestników finału tego konkursu?
Zadanie 9. (1pkt) Na kartonowej siatce sześcianu Mariusz nakleił \(6\) figur tak, jak pokazano na rysunku. Następnie z tej siatki skleił kostkę:
Który rysunek przedstawia kostkę sklejoną przez Mariusza?
Zadanie 10. (1pkt) Dany jest wzór opisujący pole trapezu: \(P=\frac{(x+y)\cdot h}{2}\) , gdzie \(x\) i \(y\) oznaczają długości podstaw trapezu, a \(h\) oznacza wysokość trapezu. Którym równaniem opisano \(x\) wyznaczone poprawnie z tego wzoru?
Zadanie 11. (1pkt) Kąt ostry rombu ma miarę \(60°\), a bok tego rombu ma długość równą \(4cm\).
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.
Krótsza przekątna dzieli ten romb na dwa trójkąty równoboczne.
Pole tego rombu jest równe \(8\sqrt{3}cm^2\).
Zadanie 12. (1pkt) Na kartce w kratkę Tomek narysował według pewnej reguły cztery łamane (patrz rysunek).
Długości tych łamanych zapisał w tabeli.
Kolejne łamane - od numeru \(V\) - Tomek rysował zgodnie z tą samą regułą.
Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
Łamana o długości \(48\) ma numer \(\bbox[5px,border:1px solid]{A}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{B}\).
Łamana o numerze \(VIII\) ma długość \(\bbox[5px,border:1px solid]{C}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{D}\).
Zadanie 13. (1pkt) W grudniu, w trzech sklepach sportowych: Alfa, Beta i Gamma, sprzedawano łyżwy figurowe w tej samej cenie. Na wiosnę w każdym sklepie ogłoszono obniżkę cen tych łyżew. Poniżej przedstawiono oferty tych sklepów.
Po obniżce cena łyżew figurowych była:
Zadanie 14. (1pkt) Dany jest trójkąt równoboczny \(ABC\) o boku długości \(10cm\). W tym trójkącie poprowadzono wysokość \(CD\). Obwód trójkąta \(ADC\) jest równy:
Zadanie 15. (1pkt) W trójkącie \(KLM\) poprowadzono wysokość \(KN\). Długości niektórych odcinków opisano za pomocą wyrażeń algebraicznych: \(|KL|=2y\), \(|LM|=2x\), \(|KN|=k+1\).
Pole trójkąta \(KLM\) opisano wyrażeniem:
Zadanie 16. (2pkt) W trójkącie o kątach wewnętrznych \(α, β, γ\) miara kąta \(α\) jest równa różnicy miar dwóch pozostałych kątów. Uzasadnij, że ten trójkąt jest prostokątny.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie:
Z treści zadania wynika, że \(α=γ-β\). Jeżeli teraz w tym równaniu obustronnie dodamy \(β\), to wyjdzie nam, że \(α+β=γ\).
Suma kątów w trójkącie jest równa \(180°\), zatem możemy zapisać, że:
$$α+β+γ=180°$$
Rozpisaliśmy sobie przed chwilą, że \(α+β=γ\), zatem:
$$γ+γ=180° \\
2γ=180° \\
γ=90°$$
W ten sposób udowodniliśmy, że jeden z kątów tego trójkąta ma miarę \(90°\), czyli że jest to trójkąt prostokątny.
Zadanie 17. (2pkt) Na rysunku przedstawiono układ miejsc w przedziale ośmioosobowym wagonu kolejowego i zaznaczono kierunek jazdy pociągu.
Edyta z Agnieszką planują zakup biletów na wspólną podróż. Wszystkie miejsca w przedziale są wolne. Edyta chce siedzieć przy oknie, natomiast Agnieszka chce siedzieć przodem do kierunku jazdy. Podaj wszystkie możliwości wyboru miejsc spełniające jednocześnie powyższe warunki.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie:
Skoro Edyta chce siedzieć przy oknie, to pasują jej tylko dwa miejsca: \(45\) oraz \(46\).
Agnieszka chce siedzieć przodem do kierunku jazdy, czyli może zająć miejsca: \(42,48,44\) oraz \(46\).
Spróbujmy teraz zatem zapisać wszystkie możliwości usadzenia dziewczyn.
Kiedy Edyta wybrałaby miejsce numer \(45\), to mamy następujące kombinacje:
$$45\text{ oraz }42 \\
45\text{ oraz }48 \\
45\text{ oraz }44 \\
45\text{ oraz }46$$
Kiedy Edyta wybrałaby miejsce numer \(46\), to mamy następujące kombinacje:
$$46\text{ oraz }42 \\
46\text{ oraz }48 \\
46\text{ oraz }44$$
Włącznie jest to \(7\) różnych kombinacji.
Zadanie 18. (2pkt) W domu kultury zorganizowano konkurs recytatorski. Dla uczestników kupiono nagrody: książki i e-booki. Książki stanowiły \(\frac{2}{3}\) liczby kupionych nagród. E-booków było o \(8\) mniej niż książek. Ile kupiono książek?
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
Na podstawie danych z treści zadania możemy zapisać, że:
\(x\) - wszystkie nagrody
\(\frac{2}{3}x\) - książki
\(\frac{2}{3}x-8\) - ebooki
Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Suma książek oraz ebooków musi być równa liczbie wszystkich nagród, zatem otrzymamy następujące równanie:
$$\frac{2}{3}x+\left(\frac{2}{3}x-8\right)=x \\
\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}x-8=x \\
\frac{4}{3}x-8=x \quad\bigg/-x \\
\frac{4}{3}x-x-8=0 \quad\bigg/+8 \\
\frac{4}{3}x-x=8 \\
\frac{1}{3}x=8 \\
x=24$$
Krok 3. Obliczenie liczby książek.
To jeszcze nie jest koniec zadania! Wyszło nam, że \(x=24\), a zgodnie z naszymi oznaczeniami \(x\) to jest liczba wszystkich nagród. Książek mamy \(\frac{2}{3}x\), zatem:
$$\frac{2}{3}x=\frac{2}{3}\cdot24=16$$
To oznacza, że było \(16\) książek.
Zadanie 19. (3pkt) W zakładzie krawieckim są szyte poduszki dla zwierząt domowych. Praca w tym zakładzie trwa pięć dni w tygodniu - od poniedziałku do piątku - po \(7\) godzin dziennie. W 2020 roku 1 marca wypadł w niedzielę i w tym miesiącu nie było żadnych dni wolnych oprócz sobót i niedziel. W ciągu każdej godziny pracy szyto średnio \(3\) poduszki. Ile poduszek uszyto w tym zakładzie w marcu 2020 roku?
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ustalenie ile jest dni roboczych w marcu.
Marzec ma \(31\) dni. Skoro 1 marca wypadł w niedzielę, to dni wolnych od pracy (sobota oraz niedziela) mamy:
1 marca (niedziela)
7 marca (sobota) oraz 8 marca (niedziela)
14 marca (sobota) oraz 15 marca (niedziela)
21 marca (sobota) oraz 22 marca (niedziela)
28 marca (sobota) oraz 29 marca (niedziela)
Wyszło nam, że w marcu mamy \(9\) dni wolnych od pracy, zatem dni roboczych mamy:
$$31-9=22$$
Krok 2. Obliczenie liczby godzin pracujących.
Mamy \(22\) dni robocze, a w każdym dniu krawcowe pracują po \(7\) godzin dziennie, zatem wszystkich godzin pracujących będzie:
$$22\cdot7=154$$
Krok 3. Obliczenie liczby uszytych poduszek.
W ciągu godziny krawcowe szyją średnio \(3\) poduszki, zatem wszystkich uszytych poduszek będziemy mieć:
$$154\cdot3=462$$
Zadanie 20. (3pkt) Boisko szkolne ma kształt prostokąta o wymiarach \(46m\) i \(30m\). Postanowiono posiać na nim trawę. Do obsiania \(40m^2\) powierzchni jest potrzebny jeden kilogram nasion trawy. Nasiona trawy są sprzedawane tylko w \(10\)-kilogramowych workach, po \(163zł\) za jeden worek. Oblicz koszt zakupu nasion trawy potrzebnych do obsiania tego boiska.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie pola powierzchni boiska.
Nasze boisko jest prostokątem o wymiarach \(46m\) i \(30m\), zatem jego pole będzie równe:
$$P=46m\cdot30m \\
P=1380m^2$$
Krok 2. Obliczenie ile worków potrzebna do posiania trawy.
Boisko ma powierzchnię \(1380m^2\). Jeden kilogram trawy pozwala posiać trawę na terenie \(40m^2\). Skoro tak, to ilość kilogramów trawy jakiej potrzebujemy jest równa:
$$1380m^2:40m^2=34,5$$
Potrzebujemy \(34,5kg\) trawy, ale trawa jest sprzedawana w workach po \(10kg\). To prowadzi nas do wniosku, że musimy kupić \(4\) pełne worki trawy.
Krok 3. Obliczenie kosztu zakupu nasion trawy.
Skoro musimy kupić \(4\) worki trawy, a każdy z nich kosztuje \(163zł\), to łączny koszt wyniesie:
$$4\cdot163zł=652zł$$
Zadanie 21. (3pkt) Podstawą ostrosłupa o wysokości \(H\) jest kwadrat. Na rysunku przedstawiono siatkę i podano długości niektórych krawędzi tego ostrosłupa.
Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zadanie już na samym początku skrywa sporą pułapkę. Wbrew pozorom wysokość górnego trójkąta naszej siatki (czyli jednocześnie wysokość całej bryły) nie będzie mieć długości równej \(13cm\). Długość równą \(13cm\) będzie mieć przeciwprostokątna tego górnego trójkąta prostokątnego, bo tylko wtedy siatka da się złożyć w ostrosłup:
Krok 2. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Spójrzmy na górny trójkąt prostokątny w naszej siatce. Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$5^2+H^2=13^2 \\
25+h^2=169 \\
H^2=144 \\
H=12 \quad\lor\quad H=-12$$
Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo wysokość ostrosłupa musi mieć dodatnią długość, zatem zostaje nam \(H=12cm\).
Krok 3. Obliczenie pola powierzchni podstawy.
W podstawie mamy kwadrat o boku \(5cm\), zatem pole powierzchni podstawy będzie równe:
$$P_{p}=a^2 \\
P_{p}=5^2 \\
P_{p}=25[cm^2]$$
Krok 4. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Znamy już pole podstawy \(P_{p}=25cm^2\), wiemy też że wysokość bryły wynosi \(H=12cm\), zatem objętość będzie równa:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot25\cdot12 \\
V=100[cm^3]$$
