Test

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wykorzystując wzór na obwód okręgu zapiszesz, że \(r=\frac{33dm}{2π}\) (Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz średnicę (nie promień!) beczki \(D=10,5dm\) (Krok 2.).
3 pkt
• Gdy podstawisz do wzoru z treści zadania obliczoną średnicę beczki (Krok 3.), ale otrzymasz niepoprawny wynik z powodu błędu rachunkowego.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
Stosując proponowane oznaczenia możemy zapisać, że:
\(d=7dm\)
\(h=12dm\)
\(Obw=33dm\) (obwód beczki w najszerszym miejscu)

Przyglądając się wzorowi zapisanemu na początku zadania widzimy, że brakuje nam znajomości długości \(D\), czyli średnicy w miejscu najszerszym. Do jej wyznaczenia wykorzystamy obwód beczki w jej najszerszym miejscu.

Krok 2. Obliczenie średnicy w miejscu najszerszym (\(D\)).
Wykorzystamy tutaj wzór na obwód okręgu:
$$Obw=2πr$$

Podstawiając dane do tego wzoru otrzymamy:
$$33dm=2πr \\
r=\frac{33dm}{2π} \\
r=\frac{33dm}{2\cdot\frac{22}{7}} \\
r=\frac{33dm}{\frac{44}{7}} \\
r=33dm\cdot\frac{7}{44} \\
r=5\frac{1}{4}dm$$

To jeszcze nie jest koniec, bo w ten sposób obliczyliśmy promień okręgu (tak naprawdę jest to promień przekroju poprzecznego beczki w jej najszerszym miejscu), a my potrzebujemy znać długość średnicy (czyli naszego \(D\)). Średnica jest dwukrotnie większa od promienia, zatem:
$$D=2\cdot r \\
D=2\cdot5\frac{1}{4}dm \\
D=10,5dm$$

Krok 3. Obliczenie objętości beczki.
Mamy już wszystkie potrzebne dane, więc możemy bez przeszkód obliczyć objętość naszej beczki, wykorzystując wzór z treści zadania:
$$\require{cancel}
V=\frac{1}{\cancel{12}}\cdot π\cdot(2\cdot(10,5)^2+(7)^2)\cdot\cancel{12} \\
V=(2\cdot110,25+49)π \\
V=(220,5+49)π \\
V=269,5π \\
V=269,5\cdot\frac{22}{7} \\
V=847[dm^3]$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie do postaci \(wm=(M-m)\cdot100\) i dalej popełnisz błąd.
2 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie do postaci \(\frac{wm}{100}=M-m\) i dalej popełnisz błąd.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Najprościej będzie rozpocząć przekształcenie od pozbycia się postaci ułamkowej. Stąd też na początku najłatwiej jest cały wzór wymnożyć przez \(m\):
$$w=\frac{M-m}{m}\cdot100 \quad\bigg/\cdot m \\
wm=(M-m)\cdot100 \quad\bigg/:100 \\
\frac{wm}{100}=M-m \\
M=\frac{wm}{100}+m$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość odcinka \(AC\) (Krok 1.).
2 pkt
• Gdy dostrzeżesz podobieństwo trójkątów \(ABC\) oraz \(DEC\) i zapiszesz poprawną proporcję np. \(\frac{|AC|}{|DC|}=\frac{|AB|}{|DE|}\) (Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz długość odcinka \(DE\), ale otrzymany wynik nie jest prawidłowy z powodu błędów rachunkowych.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(AC\).
Aby obliczyć długość odcinka \(AC\) będziemy musieli posłużyć się Twierdzeniem Pitagorasa i trójkątem \(AGC\). Odcinek \(GC\) jest znany i jego długość wynosi \(5,4m\). Potrzebowalibyśmy poznać długość jeszcze odcinka \(AG\) i ona choć nie jest podana wprost, to jest prosta do wyznaczenia, bowiem będzie to połowa długości odcinka \(AB\). Skoro \(AB\) ma długość \(14,4m\), to odcinek \(AG\) ma długość \(14,4m:2=7,2m\). Zatem:
$$(7,2)^2+(5,4)^2=|AC|^2 \\
51,84+29,16=|AC|^2 \\
|AC|^2=81 \\
|AC|=9[m]$$

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(DE\).
Należy zauważyć, że trójkąty \(ABC\) oraz \(DEC\) są podobne (cecha podobieństwa: kąt-kąt-kąt). Skoro tak, to możemy poznać długość boku \(DE\) korzystając z proporcji w stylu:
$$\frac{|AC|}{|DC|}=\frac{|AB|}{|DE|} \\
\frac{9}{5}=\frac{14,4}{|DE|}$$

Mnożąc na krzyż otrzymamy:
$$9\cdot|DE|=72 \\
|DE|=8[m]$$

To oznacza, że mamy obliczone wszystko co było wymagane - długość krokwi \(AC\) wynosi \(9m\), natomiast długość belki \(DE\) jest równa \(8m\).

Uwaga: to nie była jedyna słuszna proporcja którą można zastosować. Równie dobrze można przykładowo zapisać proporcję:
$$\frac{AB}{DE}=\frac{CG}{CF}$$

Powyższa proporcja jest także jak najbardziej poprawna proporcja, tylko trzeba dodatkowo obliczyć długość odcinka \(CF\), a będzie ona równa \(5,4-2,4=3\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz jedną z brakujących wartości w tabeli.
2 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz dwie z brakujących wartości w tabeli.
3 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz trzy z brakujących wartości w tabeli.
4 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz wszystkie brakujące wartości w tabeli.

Krok 1. Obliczenie wartości podatku VAT za okno.
Pierwszą rubryczką do uzupełnienia jest podatek VAT za okno. Stanowi on \(22\%\) ceny netto, zatem będzie on równy:
$$0,22\cdot1200zł=264zł$$

Krok 2. Obliczenie całkowitej kwoty za okno.
Potrzebujemy teraz uzupełnić rubryczkę "Razem" za okno, która tak naprawdę będzie kwotą brutto. Musimy więc do ceny netto dodać wartość podatku VAT, zatem:
$$1200zł+264zł=1464zł$$

Krok 3. Obliczenie ceny netto za drzwi.
Aby lepiej zrozumieć ideę obliczania ceny netto wprowadźmy sobie proste oznaczenia:
\(x\) - cena netto drzwi
\(0,22x\) - wartość podatku VAT

Cena drzwi plus wartość podatku VAT ma nam dać kwotę brutto, czyli \(3538zł\). Możemy zatem zapisać, że:
$$x+0,22x=3538zł \\
1,22x=3538zł \\
x=2900zł$$

Cena netto drzwi jest więc równa \(2900zł\).

Krok 4. Obliczenie podatku VAT za drzwi.
Znając już cenę netto za drzwi bez problemu obliczymy należny podatek VAT:
$$0,22\cdot2900zł=638zł$$

Można też byłoby od ceny brutto odjąć cenę netto:
$$3538zł-2900zł=638zł$$