Matura próbna z matematyki (poziom podstawowy) - Operon 2021
Arkusz maturalny zawiera 28 zadań zamkniętych oraz 7 zadań otwartych. Łącznie do zdobycia jest 45 punktów, a sugerowany maksymalny czas rozwiązywania to 170 minut.
Zadanie 1. (1pkt) Wyrażenie \(\dfrac{10^{13}\cdot7^{13}}{14^{13}\cdot5^{10}}\) jest równe:
Zadanie 2. (1pkt) Liczbą odwrotną do liczby \(\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\) jest liczba:
Zadanie 3. (1pkt) Najmniejsza wartość wyrażenia \((x-y)(x+y)\) dla \(x,y\in\{2,3,4\}\) jest równa:
Zadanie 4. (1pkt) Laptop kosztował \(1500 zł\). Jego cenę obniżono o \(20\%\), a następnie podwyższono o \(20\%\). Po tych operacjach laptop kosztuje:
Zadanie 5. (1pkt) Wartość wyrażenia \(3log_{4}2+log_{4}32\) jest równa:
Zadanie 6. (1pkt) Największą liczbą całkowitą spełniającą nierówność \(\sqrt{2}-\frac{x}{3}\ge0\) jest:
Zadanie 7. (1pkt) Suma pierwiastków równania \(x(x^2+16)(x-11)(x+12)=0\) wynosi:
Zadanie 8. (1pkt) Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=-2(x+3)^2-4\) jest parabola, a osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu:
Zadanie 9. (1pkt) Funkcja liniowa \(f(x)=(m-\sqrt{2})x+11\) jest rosnąca dla:
Zadanie 10. (1pkt) Prostą równoległą do prostej \(k: 3x+2y-5=0\), przechodzącą przez punkt \(P=(2,-5)\), jest prosta:
Zadanie 11. (1pkt) Wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji \(f(x)=3x^2-30x+82\) jest punkt:
Zadanie 12. (1pkt) W rosnącym ciągu arytmetycznym spełniony jest warunek \(a_{3}+a_{7}=28\), więc:
Zadanie 13. (1pkt) Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny \((3, 6, 5x+2)\). Zatem:
Zadanie 14. (1pkt) W ciągu liczbowym \(a_{n}=(-1)^{2n+1}\cdot\left(2^{n-1}-1\right)\) dla \(n\ge1\) suma \(a_{5}+a_{11}\) jest równa:
Zadanie 15. (1pkt) Zbiorem wartości funkcji, której wykres przedstawiono na rysunku, jest zbiór:
Zadanie 16. (1pkt) Miara kąta wewnętrznego wielokąta foremnego wynosi \(156°\). Ten wielokąt, to:
Zadanie 17. (1pkt) Zaznaczone na rysunku kąty \(\alpha, \beta, \gamma\) mają miary:
Zadanie 18. (1pkt) Pole trapezu równoramiennego o wysokości \(5\) jest równe \(45\). Odcinek łączący środki ramion tego trapezu ma długość:
Zadanie 19. (1pkt) W trójkącie \(KLM\) punkt \(A\) leży na boku \(KM\), a punkt \(B\) leży na boku \(LM\). Odcinek \(AB\) jest równoległy do boku \(KL\) oraz \(|KL|=9\), \(|KA|=3\), \(|AB|=4\) (zobacz rysunek). Odcinek \(AM\) ma długość:
Zadanie 20. (1pkt) Wartość wyrażenia \((tg\alpha-tg^2\alpha)\cdot cos\alpha\) dla kąta ostrego \(\alpha\), dla którego \(sin\alpha=\frac{3}{5}\), wynosi:
Zadanie 21. (1pkt) Punkty \(A=(3,-2)\) i \(C=(-2,3)\) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Obwód tego kwadratu jest równy:
Zadanie 22. (1pkt) Objętość sześcianu, którego suma długości krawędzi jest równa \(72\), wynosi:
Zadanie 23. (1pkt) Objętość prostopadłościanu, którego każda następna krawędź jest dwa razy dłuższa od poprzedniej, wynosi \(216\). Pole powierzchni tego prostopadłościanu jest równe:
Zadanie 24. (1pkt) Przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o długości \(d\) jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem a takim, że \(sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\). Objętość tego graniastosłupa wyraża się wzorem:
Zadanie 25. (1pkt) Na diagramie słupkowym przedstawiono oceny końcowe ucznia.
Mediana ocen ucznia jest równa:
Zadanie 26. (1pkt) Mediana zestawu danych: \(1, 1, 2, 2, x, 4, 6, 7, 9, 11\) wynosi \(3,5\). Zatem średnia arytmetyczna tego zestawu jest równa:
Zadanie 27. (1pkt) Wyniki dwukrotnego rzutu sześcienną kostką do gry zapisujemy jako liczby dwucyfrowe. Prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez \(4\) wynosi:
Zadanie 28. (1pkt) Rzucamy dwa razy monetą i dwa razy sześcienną kostką do gry. Wyniki zapisujemy w kolejności rzutów: moneta, moneta, kostka, kostka. Prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch orłów i tych samych liczb oczek wynosi:
Zadanie 29. (2pkt) Rozwiąż nierówność \((x-1)^2\le\frac{3}{2}\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Zapisanie nierówności w postaci ogólnej.
Rozwiązywanie zadania musimy zacząć od przekształcenia zapisu nierówności. Po pierwsze, musimy przenieść \(\frac{3}{2}\) na lewą stronę (tak aby po prawej stronie zostało \(0\)). Po drugie, musimy wykonać potęgowanie zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). Całość będzie wyglądać następująco:
$$(x-1)^2\le\frac{3}{2} \\
(x-1)^2-\frac{3}{2}\le0 \\
x^2-2x+1-\frac{3}{2}\le0 \\
x^2-2x-\frac{1}{2}\le0 \quad\bigg/\cdot2 \\
2x^2-4x-1\le0$$
Mnożenie obydwu stron przez \(2\) nie jest konieczne (na koniec uzyskamy te same wyniki), ale dzięki temu nie będziemy mieć już ułamków w dalszej części obliczeń.
Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Teraz możemy przystąpić do obliczenia miejsc zerowych.
Współczynniki: \(a=2,\;b=-4,\;c=-1\)
$$Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot2\cdot(-1)=16-(-8)=24 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{24}=\sqrt{4\cdot6}=2\sqrt{6}$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)-2\sqrt{6}}{2\cdot2}=\frac{4-2\sqrt{6}}{4}=\frac{2-\sqrt{6}}{2} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)+2\sqrt{6}}{2\cdot2}=\frac{4+2\sqrt{6}}{4}=\frac{2+\sqrt{6}}{2}$$
Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Otrzymane miejsca zerowe zaznaczamy na osi liczbowej i przystępujemy do rysowania paraboli. Parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry, bo współczynnik \(a\) jest dodatni, zatem:
Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas miejsca w których funkcja przyjmuje wartości mniejsze lub równe zera. Patrzymy się zatem co znajduje się pod osią lub na osi i widzimy, że rozwiązaniem tej nierówności będzie w takim razie przedział \(x\in\langle\frac{2-\sqrt{6}}{2};\frac{2+\sqrt{6}}{2}\rangle\)
Zadanie 30. (2pkt) Uzasadnij, że dla każdej dodatniej liczby naturalnej \(n\) liczba \(4^{n+1}-3^{n+2}+4^{n}-3^{n}\) jest podzielna przez \(5\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyłączysz odpowiednio czynniki przed nawias.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.
Wyjaśnienie:
Aby udowodnić, że ta liczba jest podzielna przez \(5\), musimy cały zapis do postaci w której będziemy mieć \(5\) pomnożone przez jakąś liczbę całkowitą. W tym celu trzeba przekształcić zapis wyłączając wspólne czynniki przed nawias np. w taki oto sposób:
$$4^{n+1}-3^{n+2}+4^{n}-3^{n}= \\
=4^{n}\cdot(4^1+1)-3^{n}\cdot(3^2+1)= \\
=4^{n}\cdot5-3^{n}\cdot10= \\
=5\cdot(4^{n}-3^{n}\cdot2)$$
Wiedząc, że \(n\) jest liczbą naturalną możemy być pewni, że zapis \(4^{n}-3^{n}\cdot2\) jest liczbą całkowitą. To oznacza, że podana liczba dzieli się przez \(5\), a wynikiem tego dzielenia będzie to, co znalazło się w nawiasie, czyli \(4^{n}-3^{n}\cdot2\).
Zadanie 31. (2pkt) Suma sześciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi \(72\), a szósty wyraz tego ciągu jest równy \(22\). Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie wynikające ze wzoru na sumę sześciu pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
W tym zadaniu musimy skorzystać wzoru na sumę \(n\)-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \(S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n\). Podstawiając do tego wzoru \(n=6\), otrzymamy:
$$S_{6}=\frac{a_{1}+a_{6}}{2}\cdot6 \\
72=\frac{a_{1}+22}{2}\cdot6 \\
12=\frac{a_{1}+22}{2} \\
24=a_{1}+22 \\
a_{1}=2$$
Zadanie 32. (2pkt) Oblicz miary kątów równoległoboku o bokach długości \(5\) i \(12\) oraz o polu równym \(30\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zastosujesz wzór na pole powierzchni równoległoboku z sinusem (patrz: Krok 1.).
LUB
• Gdy obliczysz wartość sinusa kąta ostrego (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie wartości \(sin\alpha\).
W tym zadaniu pomoże nam wzór na pole równoległoboku z sinusem, czyli:
$$P=a\cdot b\cdot sin\alpha$$
Podstawiając do niego dane z treści zadania, otrzymamy:
$$30=5\cdot12\cdot sin\alpha \\
30=60\cdot sin\alpha \\
sin\alpha=\frac{1}{2}$$
Krok 2. Wyznaczenie miar kątów równoległoboku.
Z tablic trygonometrycznych (możemy skorzystać nawet z tak zwanej małej tabelki) odczytujemy, że sinus przyjmuje wartość \(\frac{1}{2}\) dla kąta o mierze \(30°\).
Suma kątów przy jednym ramieniu równoległoboku jest zawsze równa \(180°\). Skoro więc ostry kąt tej figury ma miarę \(30°\), to rozwarty kąt będzie mieć miarę:
$$180°-30°=150°$$
To oznacza, że nasz równoległobok ma kąty o mierze \(30°, 30°, 150°, 150°\).
Zadanie 33. (2pkt) Przekątna \(AC\) rombu \(ABCD\) o wierzchołkach \(A(-7,2)\), \(B(5,-3)\) ma długość \(24\). Oblicz długość przekątnej \(BD\) tego rombu.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość boku rombu (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie długości boku \(AB\).
Znamy współrzędne wierzchołków punktów \(A\) oraz \(B\), zatem korzystając ze wzoru na długość odcinka możemy zapisać, że:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2} \\
|AB|=\sqrt{(5-(-7))^2+(-3-2)^2} \\
|AB|=\sqrt{12^2+(-5)^2} \\
|AB|=\sqrt{144+25} \\
|AB|=\sqrt{169} \\
|AB|=13$$
Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Przekątne rombu przecinają się w połowie swojej długości i w dodatku pod kątem prostym. Będziemy więc zatem taką oto sytuację:
Krok 3. Obliczenie długości przekątnej \(BD\).
Na rysunku pomocniczym powstał nam trójkąt prostokątny, zatem z pomocą przyjdzie nam Twierdzenie Pitagorasa:
$$|AS|^2+|BS|^2=|AB|^2 \\
12^2+|BS|^2=13^2 \\
144+|BS|^2=169 \\
|BS|^2=25 \\
|BS|=5 \quad\lor\quad |BS|=-5$$
Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(|BS|=5\), co oznacza, że poszukiwany odcinek \(BD\) ma długość dwa razy większą, czyli \(|BD|=2\cdot5=10\).
Zadanie 34. (3pkt) Krawędzie prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka mają długości będące kolejnymi liczbami nieparzystymi. Suma długości wszystkich krawędzi tego prostopadłościanu wynosi \(60\). Oblicz objętość i pole powierzchni tej bryły.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz długości krawędzi prostopadłościanu w postaci wyrażeń z jedną niewiadomą (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długości krawędzi prostopadłościanu.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi prostopadłościanu.
Trzy kolejne liczby nieparzyste możemy zapisać jako:
I krawędź: \(2n+1\)
II krawędź: \(2n+3\)
III krawędź: \(2n+5\)
W prostopadłościanie każda z krawędzi występuje czterokrotnie, a skoro suma długości tych krawędzi jest równa \(60\), to:
$$4\cdot(2n+1+2n+3+2n+5)=60 \\
4\cdot(6n+9)=60 \\
24n+36=60 \\
24n=24 \\
n=1$$
Otrzymany wynik posłuży nam teraz do wyznaczenia konkretnych długości krawędzi prostopadłościanu. Podstawiając \(n=1\) do zapisanych wcześniej wyrażeń, otrzymamy:
To oznacza, że:
I krawędź: \(2\cdot1+1=2+1=3\)
II krawędź: \(2\cdot1+3=2+3=5\)
III krawędź: \(2\cdot1+5=2+5=7\)
Krok 2. Obliczenie objętości prostopadłościanu.
Znając długości krawędzi możemy bez problemu obliczyć objętość tej bryły:
$$V=abc \\
V=3\cdot5\cdot7 \\
V=105$$
Krok 3. Obliczenie pola powierzchni prostopadłościanu.
Musimy jeszcze obliczyć pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu, zatem korzystając ze wzoru na to pole możemy zapisać, że:
$$P_{c}=2\cdot(ab+ac+bc) \\
P_{c}=2\cdot(3\cdot5+3\cdot7+5\cdot7) \\
P_{c}=2\cdot(15+21+35) \\
P_{c}=2\cdot71 \\
P_{c}=142$$
Zadanie 35. (4pkt) Funkcja kwadratowa \(f(x)=ax^2+bx+c\) ma dwa miejsca zerowe \(x_{1}=-2\frac{1}{2}\) i \(x_{2}=1\). Wykres funkcji \(f\) przechodzi przez punkt \(A(-3,8)\). Wyznacz najmniejszą wartość funkcji \(f\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz wzór funkcji w postaci iloczynowej bez współczynnika \(a\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy wyznaczysz wartości współczynnika \(a\) (patrz: Krok 1.).
3 pkt
• Gdy zapiszesz wzór funkcji w postaci ogólnej (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Zapisanie wzoru funkcji w postaci iloczynowej.
Znamy dwa miejsca zerowe, więc możemy przystąpić do zapisania funkcji w postaci iloczynowej. Dla przypomnienia, postać iloczynowa wygląda następująco:
$$y=a(x-x_{1})(x-x_{2})$$
Podstawiając teraz podane miejsca zerowe otrzymamy:
$$y=a\left(x+2\frac{1}{2}\right)(x-1) \\
8=a\cdot\left(-3+2\frac{1}{2}\right)(-3-1) \\
8=a\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot(-4) \\
8=2a \\
a=4$$
To oznacza, że nasza funkcja wyraża się wzorem:
$$y=4\left(x+2\frac{1}{2}\right)(x-1)$$
Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji w postaci ogólnej.
Chcemy teraz zapisać wzór funkcji w postaci ogólnej (umożliwi nam to potem poznanie najmniejszej wartości funkcji). W tym celu musimy wymnożyć przez siebie nawiasy i uporządkować zapis:
$$y=4\left(x+2\frac{1}{2}\right)(x-1) \\
y=(4x+10)(x-1) \\
y=4x^2-4x+10x-10 \\
y=4x^2+6x-10$$
Krok 3. Wyznaczenie najmniejszej wartości funkcji \(f\).
Wykres naszej funkcji jest parabolą, która ma ramiona skierowane do góry (bo współczynnik \(a=4\)). Skoro tak, to swoją najmniejszą wartość ta funkcja będzie przyjmować w wierzchołku:
Nas interesuje poznanie najmniejszej wartości, czyli szukamy wartości współrzędnej \(q\). Korzystając zatem ze wzoru na tą współrzędną możemy zapisać, że:
$$q=-\frac{\Delta}{4a} \\
q=-\frac{(b^2-4ac)}{4a} \\
q=-\frac{(6^2-4\cdot4\cdot(-10))}{4\cdot4} \\
q=-\frac{(36+160)}{16} \\
q=-\frac{196}{16} \\
q=-12\frac{1}{4}$$
Tak na marginesie, można też byłoby obliczyć wartość współrzędnej \(p\) (ją się wylicza nieco szybciej), a następnie można byłoby sprawdzić jaką wartość przyjmuje funkcja dla tego argumentu. Współrzędną \(p\) obliczylibyśmy w następujący sposób:
$$p=\frac{-b}{2a} \\
p=\frac{-6}{2\cdot4} \\
p=\frac{-6}{8} \\
p=-\frac{3}{4}$$
I teraz podstawiając wartość \(x=-\frac{3}{4}\) do wzoru \(y=4x^2+6x-10\), otrzymalibyśmy:
$$q=4\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)^2+6\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)-10 \\
q=4\cdot\frac{9}{16}+6\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)-10 \\
q=\frac{9}{4}+\left(-\frac{18}{4}\right)-10 \\
q=-\frac{9}{4}-10 \\
q=-12\frac{1}{4}$$
