Egzamin ósmoklasisty (termin dodatkowy) 2025 - matematyka
Arkusz zawiera 15 zadań zamkniętych oraz 6 zadań otwartych. Łącznie do zdobycia jest 30 punktów, a sugerowany maksymalny czas rozwiązywania to około 125 minut.
Zadanie 1. (1pkt) Robert rozpoczął czytanie książki we wtorek i zakończył w sobotę. W tabeli podano liczbę stron, które Robert przeczytał w kolejnych dniach tygodnia od wtorku do piątku.
Od wtorku do soboty włącznie Robert czytał dziennie średnio \(60\) stron tej książki. Ile stron tej książki Robert przeczytał w sobotę?
Zadanie 2. (1pkt) Zapisywano kolejno liczby według następującej zasady:
• liczbę \(6\) zapisano jako pierwszą
• każda następna zapisana liczba była połową liczby poprzedniej.
Piątą liczbą, którą zapisano, jest:
Zadanie 3. (1pkt) Martyna przez \(20\) minut słuchała kolejno nagrań ćwiczeń językowych. Czas odtwarzania nagrania każdego ćwiczenia w całości jest równy \(250\) sekund. Ile najwięcej ćwiczeń w całości Martyna mogła wysłuchać w tym czasie?
Zadanie 4. (1pkt) Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Iloraz \(9^4:3^2\) jest równy \(3^2\)
Liczba \(3^8\) jest trzy razy większa od iloczynu \(3^5\cdot3^2\)
Zadanie 5. (1pkt) Dane są liczby: \(k=69\) oraz \(m=83\).
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Suma liczb \(k\) i \(m\) jest podzielna przez \(4\).
Iloczyn liczb \(k\) i \(m\) jest podzielny przez \(3\).
Zadanie 6. (1pkt) W pudełku jest \(18\) kart jednakowej wielkości. Na każdej z nich narysowano jedną figurę geometryczną. Wśród tych kart:
• jest pięć kart z narysowanym trójkątem równobocznym o boku długości \(6 cm\)
• są cztery karty z narysowanym kwadratem o boku długości \(7 cm\)
• jest dziewięć kart z narysowanym pięciokątem foremnym o boku długości \(2 cm\).
Z pudełka wylosowano jedną kartę.
Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
Prawdopodobieństwo, że wylosowano kartę z narysowanym kwadratem, jest równe \(\bbox[5px,border:1px solid]{A}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{B}\).
Prawdopodobieństwo, że wylosowano kartę z narysowaną figurą o obwodzie mniejszym od \(18 cm\), jest równe \(\bbox[5px,border:1px solid]{C}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{D}\).
Zadanie 7. (1pkt) Jurek przejechał rowerem \(12 km\), co stanowiło \(\frac{2}{3}\) długości zaplanowanej trasy. Połowa zaplanowanej trasy ma długość:
Zadanie 8. (1pkt) Dane jest równanie
$$5+\dfrac{1-x}{2}=2(x-1)$$
Rozwiązaniem tego równania jest liczba:
Zadanie 9. (1pkt) Dane są dwie figury: kwadrat \(K\) i romb \(R\). Długość boku kwadratu \(K\) jest równa \(8\). Iloczyn długości przekątnych rombu \(R\) jest równy \(64\).
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Pole rombu \(R\) jest równe \(32\).
Pole kwadratu \(K\) jest równe polu rombu \(R\).
Zadanie 10. (1pkt) Karol wie, że suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa \(180°\), i na tej podstawie zapisał trzy wnioski.
Które z wniosków zapisanych przez Karola są prawdziwe?
Zadanie 11. (1pkt) Kasia jest \(3\) razy starsza od Ani. Ola jest o \(2\) lata starsza od Kasi. Oznaczymy przez \(x\) wiek Ani. Łączny wiek Kasi, Ani i Oli opisuje wyrażenie:
Zadanie 12. (1pkt) Na rysunku przedstawiono trapez prostokątny oraz podano długości trzech jego boków. Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
Pole tego trapezu jest równe \(\bbox[5px,border:1px solid]{A}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{B}\).
Najdłuższy bok tego trapezu ma długość \(\bbox[5px,border:1px solid]{C}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{D}\).
Zadanie 13. (1pkt) Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe \(150 cm^2\). Objętość tego sześcianu jest równa:
Zadanie 14. (1pkt) W układzie współrzędnych \((x,y)\) zaznaczono kolejne wierzchołki \(A\) i \(B\) pewnego czworokąta \(ABCD\). Punkty \(A\) i \(B\) są punktami kratowymi. Pozostałe wierzchołki czworokąta mają współrzędne \(C=(3, y_{C})\) oraz \(D=(-1, y_{D})\), gdzie \(y_{C}\) jest liczbą całkowitą dodatnią oraz \(y_{C}=y_{D}\).
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Czworokąt \(ABCD\) jest równoległobokiem.
Dla \(y_{C}=y_{D}=3\) czworokąt \(ABCD\) jest rombem.
Zadanie 15. (1pkt) Sześcienną kostkę o objętości \(1dm^3\) włożono do prostopadłościennego pudełka, którego krawędzie oznaczono literami \(a, b, c\) (zobacz rysunek). Długość krawędzi sześciennej kostki stanowi \(\frac{1}{3}\) długości krawędzi \(a\), \(\frac{1}{2}\) długości krawędzi \(b\) i \(\frac{2}{5}\) długości krawędzi \(c\).
Objętość tego pudełka jest równa:
Zadanie 16. (2pkt) Takie same hulajnogi są sprzedawane w sklepach \(A, B, C\). W sklepie \(B\) cena hulajnogi stanowi \(80\%\) ceny hulajnogi w sklepie \(A\). W sklepie \(C\) cena hulajnogi stanowi \(120\%\) ceny hulajnogi w sklepie \(B\). Uzasadnij, że cena hulajnogi w sklepie \(C\) jest niższa od ceny hulajnogi w sklepie \(A\). Zapisz obliczenia.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie:
Krok 1. Zapisanie wyrażeń algebraicznych opisujących ceny hulajnogi.
W tym zadaniu musimy pamiętać, że jeżeli cena stanowi np. \(80\%\) jakiejś wartości, to w postaci wyrażenia algebraicznego będzie to \(0,8x\). Tym samym moglibyśmy zapisać, że:
\(x\) - cena w sklepie \(A\)
\(0,8x\) - cena w sklepie \(B\)
Wiemy też, że w sklepie \(C\) cena hulajnogi stanowi \(1,2\) ceny sklepu \(B\), czyli:
\(1,2\cdot0,8x=0,96x\) - cena w sklepie \(C\)
Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
\(0,96x\) jest mniejsza od ceny \(x\), a więc cena hulajnogi w sklepie \(C\) jest niższa od ceny hulajnogi w sklepie \(A\), co należało udowodnić.
Zadanie 17. (3pkt) Kamil otrzymał \(300\) złotych na zakup koszulki i torby sportowej. Na koszulkę wydał \(\frac{1}{5}\) tej kwoty. Za torbę sportową zapłacił \(\frac{3}{5}\) kwoty, która została mu po zakupie koszulki. Oblicz, ile złotych zostało Kamilowi po zakupach. Zapisz obliczenia.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie:
Rozpiszmy zakupy Kamila w następujący sposób:
Koszulka kosztowała:
$$\frac{1}{5}\cdot300zł=60zł$$
Po zakupie koszulki pozostało mu:
$$300zł-60zł=240zł$$
Torba kosztowała:
$$frac{3}{5}\cdot240zł=144zł$$
Po zakupie torby pozostało mu:
$$240zł-144zł=96zł$$
Zadanie 18. (2pkt) Kuba i Paweł wyruszyli o godzinie 8:44 ze szkoły na basen tą samą trasą o długości \(7,5 km\). Kuba wyruszył skuterem i dojechał na basen o 9:06. Paweł przejechał tę trasę rowerem km elektrycznym z prędkością \(18\frac{km}{h}\). Oblicz, który z chłopców przejechał tę trasę w krótszym czasie. Zapisz obliczenia.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie czasu jazdy Pawła.
W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na prędkość, który musimy jeszcze przekształcić, by obliczyć czas jazdy Pawła.
$$v=\frac{s}{t} \\
vt=s \\
t=\frac{s}{v}$$
Podstawiając teraz znane dane do tego wzoru, otrzymamy:
$$t=\frac{7,5km}{18\frac{km}{h}} \\
t=\frac{2,5}{6}h \\
t=\frac{25}{60}h=25 min.$$
Krok 2. Ustalenie, który z chłopców przejechał tę trasę w krótszym czasie.
Kuba pokonywał trasę od godziny 8:44 do 9:06, czyli zajęło mu to \(22\) minuty. Z kolei Paweł pokonał tę trasę w \(25\) minut. To oznacza, że tę trasę w krótszym czasie przejechał Kuba.
Zadanie 19. (2pkt) Dane są dwie osie liczbowe (zobacz rysunek). Na pierwszej z nich zaznaczono punkty \(K, L, M\) oraz podano współrzędne punktów \(K\) i \(L\). Odcinek \(KM\) jest podzielony na \(9\) równych części. Na drugiej osi liczbowej zaznaczono punkty \(P, R, S\) oraz podano współrzędne punktów \(P\) i \(S\). Odcinek \(PS\) jest podzielony na \(9\) równych części. Oblicz iloczyn \(x\cdot y\). Zapisz obliczenia.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie długości \(x\).
Spójrzmy na pierwszą oś liczbową. Widzimy wyraźnie, że dwie "cząstki" są równe \(5\), a więc tym samym każda cząstka ma długość \(2,5\). Odległość od punktu \(K\) do \(M\) wynosi \(9\) części, zatem:
$$x=9\cdot2,5=22,5$$
Krok 2. Obliczenie długości \(y\).
W przypadku drugiej osi widzimy, że \(9\) "cząstek" ma długość \(18\), a więc tutaj każda cząstka ma długość \(2\). Odległość od punktu \(P\) do \(R\) wynosi \(3\) części, zatem:
$$y=3\cdot2=6$$
Krok 3. Obliczenie iloczynu \(x\cdot y\).
Tym samym iloczyn \(x\cdot y\) będzie równy:
$$x\cdot y=22,5\cdot6=135$$
Zadanie 20. (3pkt) Obwód trójkąta równoramiennego jest równy \(36 cm\). Ramię tego trójkąta jest o \(3 cm\) dłuższe od jego podstawy. Oblicz pole tego trójkąta. Zapisz obliczenia.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie długości boków trójkąta.
Wprowadźmy do zadania następujące oznaczenia:
\(x\) - długość podstawy
\(x+3\) - długość ramienia
Każdy trójkąt równoramienny ma jedną podstawę oraz dwa ramiona, więc skoro obwód tej figury jest równy \(36 cm\), to możemy ułożyć następujące równanie:
$$x+2\cdot(x+3)=36 \\
x+2x+6=36 \\
3x+6=36 \\
3x=30 \\
x=10$$
Tym samym możemy stwierdzić, że podstawa ma długość \(10cm\), a ramię tego trójkąta ma \(13cm\).
Krok 2. Obliczenie wysokości trójkąta.
Z własności trójkątów równoramiennych wiemy, że wysokość dzieli podstawę na dwie równe części, zatem powstanie nam taka oto sytuacja:
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$5^2+h^2=13^2 \\
25+h^2=169 \\
h^2=144 \\
h=12 \quad\lor\quad h=-12$$
Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, bo wysokość musi być dodatnia. Zostaje nam zatem \(h=12\).
Krok 3. Obliczenie pola trójkąta.
Wiedząc, że podstawa \(a=10\) oraz wysokość to \(h=12\) możemy bez problemu obliczyć pole naszego trójkąta:
$$P=\frac{1}{2}ah \\
P=\frac{1}{2}\cdot10cm\cdot12cm \\
P=60cm^2$$
Zadanie 21. (3pkt) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, którego krawędź podstawy ma długość \(3,5 cm\). Wysokość ostrosłupa jest o \(8 cm\) mniejsza od obwodu jego podstawy. Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
W podstawie ostrosłupa mamy kwadrat o boku \(3,5cm\), zatem jego obwód będzie równy:
$$Obw=4\cdot3,5cm \\
Obw=14cm$$
Z treści zadania wiemy, że wysokość ostrosłupa jest o \(8cm\) mniejsza od obwodu podstawy, zatem wysokość ostrosłupa ma długość:
$$H=14cm-8cm=6cm$$
$$P_{p}=a^2 \\
P_{p}=(3,5cm)^2 \\
P_{p}=12,25cm^2$$
Objętość będzie więc równa:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot12,25cm^2\cdot6cm \\
V=2cm\cdot12,25cm^2 \\
V=24,5cm^3$$
