Test

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy podstawisz pod \(x\) i \(y\) konkretne wartości liczbowe.
1 pkt
• Gdy obliczysz deltę (patrz: I sposób Krok 1.) i nie wyciągniesz z niej żadnych wniosków.
ALBO
• Gdy skorzystasz ze wzorów skróconego mnożenia i otrzymasz zapis typu \((2x-2y)^2+y^2\ge0\) (patrz: II sposób Krok 1.) i nie wyciągniesz z niego żadnych wniosków.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Do zadania można podejść na kilka sposobów, więc rozważmy sobie dwa najprostsze rozwiązania.

I sposób:
W tej metodzie potraktujemy tę nierówność tak jak każdą inną. To, że znajdują się w niej wartości \(y\) na razie nam nie przeszkadza (potraktujemy je jak zwykłe liczby).

Krok 1. Obliczenie delty.
Współczynniki: \(a=4,\;b=-8y,\;c=5y^2\)
$$Δ=b^2-4ac=(-8y)^2-4\cdot4\cdot5y^2=64y^2-80y^2=-16y^2$$

Zastanówmy się teraz jaka jest ta delta. Jakiejkolwiek liczby nie podstawimy pod \(y\) to wartość \(y^2\) będzie dodatnia lub równa zero (gdy \(y=0\)). Pomnożenie tej liczby jeszcze przez \(-16\) sprawi, że wynik zawsze będzie niedodatni (ujemny gdy \(y\neq0\) lub równy zero gdy \(y=0\)). Wniosek z tego taki, że \(Δ\le0\).

Krok 2. Interpretacja otrzymanej delty.
Nasza parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry, bo współczynnik \(a\) jest dodatni. Skoro \(Δ\le0\), to znaczy że ta funkcja ma maksymalnie jedno miejsce zerowe (gdy \(Δ=0\)), a cała reszta wykresu zawsze będzie przebiegać nad osią \(Ox\). To oznacza, że ta funkcja nigdy nie przyjmie wartości ujemnych, co kończy nasz dowód.



II sposób:
Możemy też spróbować przedstawić tę nierówność przy użyciu wzorów skróconego mnożenia. Gdyby udało nam się powiązać niektóre wyrazy w taki sposób, że dałoby się je pokazać w formie pewnej potęgi, to udowodnilibyśmy, że "coś" podniesione do potęgi jest zawsze większe od zera.
Krok 1. Zapisanie nierówności przy użyciu wzorów skróconego mnożenia.
Aby móc tego dokonać musimy rozbić \(5y^2\) na sumę \(4y^2+y^2\), zatem:
$$4x^2-8xy+5y^2\ge0 \\
4x^2-8xy+4y^2+y^2\ge0 \\
(2x-2y)^2+y^2\ge0$$

Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Kwadrat liczby jest zawsze liczbą nieujemną. Niezależnie więc co podstawimy pod \(x\) i \(y\) to \((2x-2y)^2\ge0\) oraz \(y^2\ge0\). Suma dwóch liczb nieujemnych także daje liczbę nieujemną, więc dowód możemy uznać za zakończony.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Krok 1. Przeniesienie wyrazów na lewą stronę.
Aby móc w ogóle przystąpić do rozwiązywania tej nierówności musimy przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę. Otrzymamy więc:
$$2x^2-4x\ge x-2 \\
2x^2-5x+2\ge0$$

Krok 2. Wyznaczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=2,\;b=-5,\;c=2\)
$$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot2\cdot2=25-16=9 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{9}=3$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)-3}{2\cdot2}=\frac{5-3}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)+3}{2\cdot2}=\frac{5+3}{4}=\frac{8}{4}=2$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Ramiona paraboli będą skierowane do góry, bo współczynnik \(a\) jest dodatni. Zaznaczamy na osi obliczone przed chwilą miejsca zerowe (kropki będą zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\ge\)) i szkicujemy wykres paraboli:



Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie, więc rozwiązaniem nierówności będzie suma przedziałów:
$$x\in(-\infty;\frac{1}{2}\rangle \cup \langle2;+\infty)$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy pogrupujesz wyrazy i wyłączysz odpowiednie czynniki przed nawias w taki sposób, że w nawiasach jest jednakowa wartość, dzięki której można szybko przejść do postaci iloczynowej albo wręcz doprowadzisz równanie do postaci iloczynowej (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
$$4x^3+4x^2-x-1=0 \\
4x^2(x+1)-1\cdot(x+1)=0 \\
(4x^2-1)(x+1)=0$$

Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
Korzystając z postaci iloczynowej możemy przyrównać wartości w nawiasach do zera, wyznaczając w ten sposób rozwiązania naszej równości.
$$4x^2-1=0 \quad\lor\quad x+1=0 \\
4x^2=1 \quad\lor\quad x=-1 \\
x^2=\frac{1}{4} \quad\lor\quad x=-1 \\
x=\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=-\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=-1$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz, że \(q=-3\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy określisz pozostałe miejsca zerowe: \(x=1\) oraz \(x=3\) (patrz: Krok 3.)
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Narysujmy sobie jak musi wyglądać nasza funkcja \(h(x)\) wiedząc, że jest ona przesuniętą postacią funkcji \(f(x)\) w taki sposób, że miejscem zerowym tej funkcji jest teraz \(x=-1\).



Krok 2. Określenie wartości \(q\).
Wykres funkcji \(h(x)\) trzeba było przesunąć o trzy jednostki do dołu, zatem:
$$h(x)=f(x)+q \\
h(x)=f(x)-3 \\
\text{zatem: } q=-3$$

Krok 3. Odczytanie wszystkich miejsc zerowych.
Z rysunku możemy odczytać pozostałe miejsca zerowe tej funkcji. Oprócz \(x=-1\) miejscami zerowymi są także \(x=1\) oraz \(x=3\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz, że liczba wyrazów tego ciągu to \(n=20\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie obliczysz liczbę wyrazów, ale konsekwentnie do niej obliczysz poprawnie sumę wszystkich wyrazów.
ALBO
• Gdy wypiszesz kolejne wyrazy tego ciągu, ale nie obliczysz ich sumy.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie liczby wyrazów tego ciągu.
Z treści zadania wiemy, że:
$$a_{1}=444 \\
a_{n}=653 \\
r=11$$

Aby obliczyć ile jest wyrazów w tym ciągu skorzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\
653=444+(n-1)\cdot11 \\
653=444+11n-11 \\
653-444+11=11n \\
11n=220 \\
n=20$$

To oznacza, że nasz ciąg ma \(20\) wyrazów.

Krok 2. Obliczenie sumy wszystkich wyrazów tego ciągu.
Sumę wszystkich wyrazów obliczymy korzystając z następującego wzoru:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n \\
S_{20}=\frac{a_{1}+a_{20}}{2}\cdot n \\
S_{20}=\frac{444+653}{2}\cdot20 \\
S_{20}=\frac{1097}{2}\cdot20 \\
S_{20}=10970$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zaznaczysz (może być na rysunku), że kąt \(KLO\) jest prosty oraz zapiszesz że \(|\sphericalangle LOK|=2\cdot|\sphericalangle LMO|\) (patrz: Krok 3.)
ALBO
• Gdy dostrzeżesz, że \(|\sphericalangle LMO|=|\sphericalangle MLO|\), bo jest to trójkąt równoramienny.
ALBO
• Gdy połączysz punkt \(P\) z punktem przecięcia się okręgu i odcinka \(OK\), oznaczysz ten punkt przykładowo jako \(N\) i zauważysz, że powstał trójkąt prostokątny, a z własności stycznych do okręgu zapiszesz, że \(|\sphericalangle NLK|=|\sphericalangle LMN|\)
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Połączmy ze sobą punkty \(L\) oraz \(O\) (będzie to promień okręgu) i wprowadźmy sobie proste oznaczenia kątów:



Z własności stycznych wiemy, że kąt między styczną, a promieniem okręgu, jest kątem prostym (patrz rysunek). To pozwoli nam w prosty sposób wyznaczyć miarę kąta \(α\).

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(α\).
Skoro suma kątów w trójkącie \(OKL\) ma być równa \(180°\), to kąt \(α\) ma miarę:
$$α=180°-90°-28°=62°$$

Krok 3. Obliczenie miary kąta \(β\).
Z własności kątów środkowych i wpisanych opartych na tym samym łuku wiemy, że kąt wpisany w okręg (a takim jest nasz kąt \(β\)) jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego (a takim jest tutaj kąt \(α\)). Zatem:
$$β=62°:2=31°$$

I właśnie to należało udowodnić.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy powiążesz ze sobą długości przekątnej podstawy, przekątnej graniastosłupa i wysokości graniastosłupa korzystając z Twierdzenia Pitagorasa (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy zapiszesz że \(tgα=\frac{4}{3}\).
ALBO
• Gdy obliczysz długość przekątnej graniastosłupa: \(|EC|=20\)
ALBO
• Gdy zaznaczysz na rysunku kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny jego podstawy.
ALBO
• Gdy obliczysz całe zadanie, ale otrzymany wynik jest niepoprawny bo pomylisz sinusa z cosinusem.
2 pkt
• Gdy zgodnie z przyjętym przez siebie sposobem rozwiązywaniem zadania otrzymasz równanie lub układ równań w którym jedyną niewiadomą jest długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 2.). Dopuszczalna jest dowolna forma zapisu np. \(a^2-72=0\) albo \(\frac{16}{a\sqrt{2}}=\frac{4}{3}\) albo \(16^2+(a\sqrt{2})^2=20^2\) itd.
ALBO
• Gdy obliczysz długość przekątnej podstawy graniastosłupa: \(|AC|=12\).
3 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



W zadaniu mowa o graniastosłupie prawidłowym czworokątnym, a to oznacza, że w podstawie znajduje się kwadrat. Jeśli więc bok kwadratu oznaczylibyśmy sobie jako \(a\), to przekątna \(|AC|=a\sqrt{2}\).

Kluczem do rozwiązania tego zadania będzie poznanie długości \(a\), bo wtedy obliczymy pole podstawy i pola ścian bocznych.

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(|EC|\).
Spójrzmy na trójkąt \(ACE\). Znamy długość \(|AE|=16\). Wiemy też, że \(|AC|=a\sqrt{2}\). Gdyby więc udało nam się jeszcze ustalić długość odcinka \(|EC|\) to długość \(a\) obliczylibyśmy z Twierdzenia Pitagorasa.
Z pomocą przyjdzie nam informacja mówiąca o tym, że \(cosα=\frac{3}{5}\).
$$cosα=\frac{|AC|}{|EC|} \\
\frac{3}{5}=\frac{a\sqrt{2}}{|EC|} \quad\bigg/\cdot\|EC|\\
\frac{3}{5}|EC|=a\sqrt{2} \quad\bigg/\cdot\frac{5}{3} \\
|EC|=\frac{5\sqrt{2}a}{3}$$

Krok 3. Wyznaczenie długości krawędzi \(a\) z wykorzystaniem Twierdzenia Pitagorasa.
$$a^2+b^2=c^2 \\
|AC|^2+|AE|^2=|EC|^2 \\
(a\sqrt{2})^2+16^2=\left(\frac{5\sqrt{2}a}{3}\right)^2 \\
2a^2+256=\frac{50a^2}{9} \cdot|\cdot9 \\
18a^2+2304=50a^2 \\
-32a^2+2304=0 \quad\bigg/:(-32) \\
a^2-72=0$$

Powstałe równanie możemy obliczyć metodą delty (pamiętaj, że w tym przypadku współczynnik \(b=0\)), ale wygodniej będzie zapisać to w ten sposób:
$$a^2-72=0 \\
a^2=72 \\
a=\sqrt{72} \quad\lor\quad a=-\sqrt{72}$$

Ujemne rozwiązanie oczywiście odrzucamy. To co jeszcze warto zrobić, to wyłączyć wspólny czynnik przed znak pierwiastka, tak więc:
$$a=\sqrt{72}=a=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt{2}$$

Krok 4. Obliczenie pola całkowitego graniastosłupa.
Znając długość \(a=6\sqrt{2}\) możemy już bez przeszkód obliczyć pole całkowite graniastosłupa.
$$P_{c}=2P_{p}+4P_{b} \\
P_{c}=2\cdot a^2+4\cdot a\cdot H \\
P_{c}=2\cdot(6\sqrt{2})^2+4\cdot6\sqrt{2}\cdot16 \\
P_{c}=2\cdot72+384\sqrt{2} \\
P_{c}=144+384\sqrt{2}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz jedynie liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=115\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz że bilet ulgowy kupiło \(49\) osób (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz że bilet normalny kupiło \(14\) osób (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz że co najmniej jeden bilet kupiło \(90\) osób (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=115\) i zapiszesz poprawnie liczbę osób które kupiły jeden z biletów (patrz: Krok 1. oraz 2.)
ALBO
• Gdy zapiszesz, że biletu nie kupiło \(25\) osób.
3 pkt
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=115\) oraz obliczysz, że \(25\) osób nie kupiło biletu.
ALBO
• Gdy popełnisz błąd rachunkowy i konsekwentnie do niego podasz błędny wynik.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Będziemy wybierać jedną ze \(115\) osób, stąd też \(|Ω|=115\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Naszym zdarzeniem sprzyjającym jest wylosowanie osoby, która nie kupiła biletu. W związku z tym musimy teraz określić ile osób nie kupiło biletu. Można to zrobić na kilka sposobów (mniej lub bardziej matematycznych). Przykładowo:

I sposób: Skoro sprzedano \(76+41=117\) biletów, a \(27\) osób ma jeden i drugi bilet, to znaczy że osób które kupiły ten bilet jest \(117-27=90\). W związku z tym biletu nie kupiło \(115-90=25\) osób. Zatem \(|A|=25\).

II sposób: Możemy też wykonać prosty rysunek w którym zobrazujemy sobie całą sytuację:



Najpierw wpisujemy liczbę \(27\), bo tyle osób ma dwa bilety, a następnie obliczamy ile osób ma tylko bilet ulgowy lub tylko bilet normalny. Po zsumowaniu wartości wychodzi nam, że bilet kupiło: \(49+27+14=90\) osób, czyli biletu nie kupiło \(115-90=25\) osób. Zatem \(|A|=25\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{25}{115}=\frac{5}{23}$$

Pamiętaj o tym, by przedstawić to rozwiązanie właśnie w formie nieskracalnego ułamka (jest to wyszczególnione w treści zadania).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz sensowne oznaczenia i zapiszesz podstawowe relacje między nimi (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednie relacje w formie równania z dwoma niewiadomymi lub w postaci układu równań (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy sprowadzisz obliczenia do postaci równania z jedną niewiadomą, czyli postaci w której występuje jedynie niewiadoma \(v\) lub \(t\) (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie do postaci ogólnej równania kwadratowego (patrz: Krok 2.), ale samo równanie kwadratowe (patrz: Krok 3.) rozwiążesz błędnie.
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
ALBO
• Gdy źle zinterpretujesz otrzymane wyniki z równania kwadratowego.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
\(v\) - średnia prędkość Adama [\(\frac{km}{h}\)]
\(t\) - czas Adama [\(h\)]

\(v+4,5\) - średnia prędkość Borysa [\(\frac{km}{h}\)]
\(t-\frac{1}{6}\) - czas Borysa [\(h\)]
Odejmujemy \(\frac{1}{6}\), bo Borys biegł \(10\) minut krócej, a skoro posługujemy się godzinami to \(10min=\frac{1}{6}h\).

\(s=15\) - długość trasy

Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie układu równań na podstawie danych z treści zadania.
Skorzystamy tutaj ze wzoru \(s=vt\).
\begin{cases}
15=vt \\
15=(v+4,5)\left(t-\frac{1}{6}\right)
\end{cases}

Podstawiając z pierwszego równania \(v=\frac{15}{t}\) do drugiego równania otrzymamy:
$$\require{cancel}
15=\left(\frac{15}{t}+4,5\right)\left(t-\frac{1}{6}\right) \\
\cancel{15}=\cancel{15}-\frac{15}{6t}+4,5t-\frac{3}{4} \\
-\frac{15}{6t}+4,5t-\frac{3}{4}=0 \\
-\frac{5}{2t}+4,5t-\frac{3}{4}=0 \quad\bigg/\cdot4t \\
-10+18t^2-3t=0 \\
18t^2-3t-10=0$$

Krok 3. Obliczenie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=18,\;b=-3,\;c=-10\)
$$Δ=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot18\cdot(-10)=9-(-720)=729 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{729}=27$$

$$t_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)-27}{2\cdot18}=\frac{3-27}{36}=\frac{-24}{36}=-\frac{2}{3} \\
t_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)+27}{2\cdot18}=\frac{3+27}{36}=\frac{30}{36}=\frac{5}{6}$$

Krok 4. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Rozwiązanie ujemne musimy odrzucić, bo czas nie może być ujemny. Zostaje nam \(t=\frac{5}{6}[h]\), a zgodnie z naszymi oznaczeniami jest to czas biegu Adama, czyli dokładnie to czego szukaliśmy. Możemy jeszcze zapisać, że \(t=\frac{5}{6}h=50 min.\) i w takim też czasie Adam pokonał całą trasę biegu.