Test - Szalone Liczby

Uwaga! Nie uzupełniłeś jeszcze wszystkich zadań.
Napewno chcesz zakończyć test?

Egzamin ósmoklasisty 2022 - matematyka

Zadanie 1. (1pkt) Wśród uczniów klas ósmych przeprowadzono ankietę. Jedno z pytań tej ankiety zamieszczono poniżej.
egzamin ósmoklasisty

Każdy z uczniów wypełniających ankietę zaznaczył tylko jedną odpowiedź. Czworo spośród ankietowanych zaznaczyło odpowiedź żadne z wymienionych. Procentowy rozkład udzielonych odpowiedzi uczniów przedstawiono na poniższym diagramie.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

W ankiecie wzięło udział $80$ uczniów.

Filmy fantasy wybrało o $20$ uczniów więcej niż uczniów, którzy wybrali filmy przyrodnicze.

Zadanie 2. (1pkt) Wartość wyrażenia $\frac{4^2}{5}-3^2$ jest równa:

$-\frac{29}{5}$

$-\frac{22}{5}$

$\frac{7}{5}$

$\frac{61}{5}$

Zadanie 3. (1pkt) Spośród wszystkich liczb trzycyfrowych o sumie cyfr równej $6$ wybrano liczbę największą i liczbę najmniejszą. Suma wybranych liczb jest równa:

$714$

$705$

$606$

$327$

Zadanie 4. (1pkt) Liczba $k$ jest sumą liczb $323$ i $160$. Czy liczba $k$ jest podzielna przez $3$? Wybierz odpowiedź Tak albo Nie i jej uzasadnienie.

Tak

Nie

ponieważ

cyfrą jedności liczby $k$ jest $3$.

żadna z liczb $323$ i $160$ nie dzieli się przez $3$.

suma cyfr $3$, $4$ i $8$ jest liczbą podzielną przez $3$.

Zadanie 5. (1pkt) Dane są trzy liczby:
$x=\dfrac{10^{30}\cdot10^{70}}{10} \\
y=(10^3)^{15}\cdot10^{60} \\
z=10^{50}\cdot\frac{10^{80}}{10^{20}}$

Która z tych liczb jest mniejsza od liczby $10^{100}$?

Tylko $x$

Tylko $y$

Tylko $z$

Każda z liczb $x,y,z$

Zadanie 6. (1pkt) Na uszycie $90$ jednakowych bluzek w rozmiarze S potrzeba tyle samo materiału, ile na uszycie $60$ jednakowych bluzek w rozmiarze L. Przyjmij, że na uszycie większej lub mniejszej liczby bluzek potrzeba proporcjonalnie więcej lub mniej materiału.

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Na uszycie $240$ bluzek w rozmiarze S potrzeba tyle samo materiału, ile potrzeba na uszycie $\bbox[5px,border:1px solid]{A}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{B}$ bluzek w rozmiarze L.

$160$

$150$

Na uszycie dwóch bluzek w rozmiarze L potrzeba tyle samo materiału, ile potrzeba na uszycie $\bbox[5px,border:1px solid]{C}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{D}$ bluzek w rozmiarze S.

trzech

pięciu

Zadanie 7. (1pkt) Dane jest wyrażenie $\dfrac{n^4-3}{6}$ oraz liczby: $-3, -1, 0, 1, 3$. Dla której z danych liczb wartość podanego wyrażenia jest najmniejsza?

$-3$

$-1$

$0$

$1$

$3$

Zadanie 8. (1pkt) Liczba $\sqrt{60}$ jest:

większa od $3$ i mniejsza od $4$

większa od $4$ i mniejsza od $5$

większa od $7$ i mniejsza od $8$

większa od $8$ i mniejsza od $9$

Zadanie 9. (1pkt) Na osi liczbowej zaznaczono punkty $P$, $R$ i $S$ oraz podano współrzędne punktów $P$ i $R$. Odcinek $PS$ jest podzielony na $8$ równych części (zobacz rysunek poniżej).
egzamin ósmoklasisty

Współrzędna punktu $S$ jest równa:

$10$

$11$

$13$

$15$

Zadanie 10. (1pkt) Plik z prezentacją multimedialną Igora ma rozmiar $13 MB$ (megabajtów). Plik z prezentacją multimedialną Lidki ma $2,5$ razy większy rozmiar (wyrażony w MB) niż plik z prezentacją Igora. Plik z prezentacją Lidki ma większy rozmiar niż plik z prezentacją Igora o:

$12 MB$

$19,5 MB$

$25 MB$

$32,5 MB$

Zadanie 11. (1pkt) Ogrodnik kupił ziemię ogrodową, którą zaplanował zużyć w maju, czerwcu i lipcu. W maju zużył $\frac{1}{3}$ masy kupionej ziemi. W czerwcu zużył połowę masy ziemi, która została. Na lipiec pozostało mu jeszcze $60 kg$ ziemi.

Jeżeli przez $x$ oznaczymy masę zakupionej ziemi, to sytuację przedstawioną w zadaniu opisuje równanie:

$\left(x-\frac{1}{3}x\right)+\frac{1}{2}x=60$

$\left(x-\frac{1}{3}x\right)+\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{3}x\right)=60$

$\left(x-\frac{1}{3}x\right)-\frac{1}{2}x=60$

$\left(x-\frac{1}{3}x\right)-\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{3}x\right)=60$

Zadanie 12. (1pkt) Trzy koleżanki kupiły bilety autobusowe w tym samym automacie. Martyna kupiła $6$ biletów $75$-minutowych i zapłaciła za te bilety $24 zł$. Weronika kupiła $4$ bilety $20$-minutowe i zapłaciła za nie $12 zł$. Ania kupiła $2$ bilety $75$-minutowe i $2$ bilety $20$-minutowe. Ile Ania zapłaciła za bilety?

$7 zł$

$14 zł$

$19 zł$

$20 zł$

Zadanie 13. (1pkt) Dany jest trójkąt $ABC$, w którym kąt $BCA$ ma miarę $35°$. Punkt $D$ leży na boku $BC$ tego trójkąta. Odcinek $AD$ ma taką samą długość jak odcinek $BD$. Kąt $ADC$ ma miarę $130°$ (zobacz rysunek poniżej).
egzamin ósmoklasisty

Kąt $CAB$ ma miarę:

$95°$

$75°$

$90°$

$80°$

Zadanie 14. (1pkt) W pudełku było wyłącznie $6$ kulek zielonych i $8$ kulek niebieskich. Po dołożeniu do tego pudełka pewnej liczby kulek zielonych prawdopodobieństwo wylosowania kulki niebieskiej jest równe $\frac{1}{4}$. Ile kulek zielonych dołożono do pudełka?

$10$

$16$

$18$

$24$

Zadanie 15. (1pkt) Na rysunku przedstawiono trapez $KLMN$ zbudowany z trzech jednakowych trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych długości $3 cm$ i $4 cm$.
egzamin ósmoklasisty

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pole trapezu $KLMN$ jest równe $18 cm^2$

Obwód trapezu $KLMN$ jest równy $18 cm$

Zadanie 16. (2pkt) Do wykonania naszyjnika Hania przygotowała $4$ korale srebrne, $8$ korali czerwonych i kilka korali zielonych. Następnie ze wszystkich przygotowanych korali zrobiła naszyjnik. Zielone korale stanowią $20\%$ wszystkich korali w zrobionym naszyjniku. Oblicz, ile zielonych korali jest w naszyjniku. Zapisz obliczenia.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawne równanie pozwalające obliczyć liczbę wszystkich korali np. $4+8+\frac{1}{5}x=x$ (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy zapiszesz poprawne równanie pozwalające obliczyć liczbę zielonych korali np. $x=0,2\cdot(12+x)$.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Z treści zadania wynika, że:
$x$ - liczba wszystkich korali
$4$ - tyle mamy korali srebrnych
$8$ - tyle mamy korali czerwonych
$\frac{1}{5}x$ - tyle mamy korali zielonych (bo stanowią one $20\%$ wszystkich korali

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Suma korali srebrnych, czerwonych oraz zielonych ma dać $x$, zatem:
$$4+8+\frac{1}{5}x=x \\
12+\frac{1}{5}x=x \\
12=\frac{4}{5}x \quad\bigg/\cdot\frac{5}{4} \\
x=\frac{60}{4}=15$$

Krok 3. Obliczenie liczby zielonych korali.
Zgodnie z oznaczeniami, $x$ to liczba wszystkich korali, a my musimy powiedzieć ile jest tych zielonych. Zielonych korali mamy $\frac{1}{5}x$, czyli:
$$\frac{1}{5}\cdot15=3$$

Zadanie 17. (2pkt) Kierowca przejechał ze stałą prędkością trasę o długości $22,5 km$ od godziny $7:50$ do godziny $8:05$. Oblicz prędkość, z jaką kierowca przejechał tę trasę. Wynik wyraź w $\frac{km}{h}$. Zapisz obliczenia.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz czas jazdy i wynik podasz w godzinach (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz poprawne równanie z jedną niewiadomą z wykorzystaniem wzoru na prędkość (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Obliczenie czasu jazdy.
Skoro kierowca jechał od godziny $7:50$ do $8:05$, to czas jego jazdy wyniósł $t=15min$. Od razu zamieńmy ten czas na godziny (bo na koniec i tak musimy podać wynik w $\frac{km}{h}$. Skoro godzina ma $60$ minut, a czas jazdy wyniósł $15$ minut, to:
$$t=\frac{15}{60}h=\frac{1}{4}h$$

Krok 2. Obliczenie prędkości.
Najtrudniejsze już za nami. Z treści zadania wiemy, że $s=22,5km$, przed chwilą obliczyliśmy, że $t=\frac{1}{4}h$, zatem korzystając ze wzoru na prędkość możemy zapisać, że:
$$v=\frac{s}{t} \\
v=\frac{22,5km}{\frac{1}{4}h} \\
v=22,5km:\frac{1}{4}h \\
v=90\frac{km}{h}$$

Zadanie 18. (3pkt) Dany jest romb $ABCD$. Obwód tego rombu jest równy $52 cm$, a przekątna $AC$ ma długość $24 cm$ (zobacz rysunek poniżej).
egzamin ósmoklasisty

Oblicz długość przekątnej $BD$ rombu $ABCD$. Zapisz obliczenia.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

3pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość boku rombu (patrz: Krok 1.) oraz skorzystasz z twierdzenia Pitagorasa do wyznaczenia połowy długości jednej z przekątnych (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy zapiszesz poprawne równanie z jedną niewiadomą z wykorzystaniem wzoru na prędkość (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz połowę długości przekątnej $BD$ (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy zapiszesz równanie bazujące na twierdzeniu Pitagorasa, z którego możemy obliczyć długość EB, czyli $|EB|^2+12^2=13^2$.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Obliczenie długości boku rombu.
Skoro obwód rombu jest równy $52cm$, a każdy bok rombu ma jednakową długość, to:
$$a=52cm:4 \\
a=13cm$$

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Przekątne rombu przecinają się w połowie swojej długości. To oznacza, że sytuacja z treści zadania będzie wyglądać następująco:
egzamin ósmoklasisty

Powstał nam trójkąt prostokątny, z którego teraz musimy wyznaczyć długość połowy przekątnej $BD$.

Krok 3. Obliczenie długości połowy przekątnej $BD$ (czyli $x$).
Korzystając z zaznaczonego trójkąta prostokątnego obliczmy najpierw długość boku $x$, który jest połową przekątnej $BD$. Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że:
$$12^2+x^2=13^2 \\
144+x^2=169 \\
x^2=25 \\
x=5 \quad\lor\quad x=-5$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia. Zostaje nam więc $x=5$.

Krok 4. Obliczenie długości przekątnej $BD$.
Przekątna $BD$ będzie dwa razy dłuższa od wyznaczonego odcinka $x$, zatem:
$$|BD|=2\cdot5 \\
|BD|=10$$

Zadanie 19. (3pkt) Na rysunku przedstawiono siatkę graniastosłupa prawidłowego czworokątnego oraz zapisano niektóre wymiary tej siatki.
egzamin ósmoklasisty

Oblicz objętość tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

3pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wysokość graniastosłupa (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz krawędź podstawy graniastosłupa (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zastosujesz poprawny sposób obliczenia poszczególnych długości oraz objętości bryły, ale otrzymasz błędny wynik np. ze względu na błąd rachunkowy.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Obliczenie wymiarów graniastosłupa.
Spójrzmy na odcinek o długości $48cm$. Składa się on z trzech jednakowych prostokątów, które są ścianami bocznymi naszej bryły (na pewno są one jednakowe, bo graniastosłup jest prawidłowy, czyli wszystkie ściany boczne są takie same). To oznacza, że krótsza długość pojedynczego prostokąta wynosi:
$$48cm:3=16cm$$

To prowadzi nas do wniosku, że w podstawie znajdzie się kwadrat o boku $16cm$ (musi to być kwadrat, bo graniastosłup jest prawidłowy). Skoro tak, to wysokość bryły będzie równa:
$$41cm-16cm=25cm$$

Dobrze będzie to wszystko widać na rysunku pomocniczym:
egzamin ósmoklasisty

Krok 2. Obliczenie pola podstawy.
W podstawie bryły mamy kwadrat o boku $16cm$, zatem pole podstawy będzie równe:
$$P_{p}=16cm\cdot16cm \\
P_{p}=256cm^2$$

Krok 3. Obliczenie objętści.
Wiemy już, że $P_{p}=256cm$ i wyznaczyliśmy sobie, że $H=25cm$. W związku z tym objętość graniastosłupa będzie równa:
$$V=P_{p}\cdot H \\
V=256cm^2\cdot25 \\
V=6400cm^3$$

Zdobyłeś/aś: 0/25pkt

Zobacz swój test

Popraw test