Test - Szalone Liczby

Uwaga! Nie uzupełniłeś jeszcze wszystkich zadań.
Napewno chcesz zakończyć test?

Matura poprawkowa z matematyki (poziom podstawowy) - Sierpień 2025

Łącznie do zdobycia jest 50 punktów, a sugerowany maksymalny czas rozwiązywania to 180 minut.

Zadanie 1. (1pkt) Liczba $|\sqrt{5}-3|+|\sqrt{5}-1|$ jest równa:

$2\sqrt{5}-4$

$2\sqrt{5}+4$

$2$

$4$

Zadanie 2. (1pkt) Liczba $\dfrac{25^{-2}}{125^{-4}}$ jest równa:

$5^{-16}$

$5^{-2}$

$5^{4}$

$5^{8}$

Zadanie 3. (1pkt) Liczba $\sqrt[3]{24}+\sqrt[3]{192}$ jest równa:

$6$

$3\sqrt[3]{6}$

$6\sqrt[3]{3}$

$6\sqrt[3]{6}$

Zadanie 4. (1pkt) Liczba $log_{3}2-log_{3}18$ jest równa:

$(-2)$

$(-\frac{1}{2})$

$\frac{1}{2}$

$2$

Zadanie 5. (2pkt) Wykaż, że liczba $8^{50}-2^{145}$ jest podzielna przez $31$.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Naszą liczbę możemy rozpisać w następujący sposób:
$$8^{50}-2^{145}=(2^3)^{50}-2^{145}=2^{150}-2^{145}$$

Otrzymaliśmy odejmowanie potęg o jednakowych podstawach. Teraz moglibyśmy rozbić liczbę $2^{150}$ na iloczyn $2^{5}\cdot2^{145}$. Z kolei dla lepszego zobrazowania można też byłoby rozpisać $2^{145}$ jako $1\cdot2^{145}$. To doprowadzi nas do następującej sytuacji:
$$2^{150}-2^{145}=2^{5}\cdot2^{145}-1\cdot2^{145}=32\cdot2^{145}-1\cdot2^{145}=31\cdot2^{145}$$

Otrzymaliśmy w ten sposób iloczyn dwóch liczb całkowitych, z czego jedna jest równa właśnie $31$. To oznacza, że nasza liczba jest podzielna przez $31$, co należało udowodnić.

Zadanie 6. (1pkt) Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ wartość wyrażenia $(3x+y)^2-(3x-y)^2$ jest równa wartości wyrażenia:

$12xy$

$(-12xy)$

$2y^{2}$

$4y^{2}$

Zadanie 7. (1pkt) Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $3-x\ge\frac{5x-1}{2}$ jest przedział:

$(-\infty,1]$

$(-\infty,\frac{7}{6}]$

$[1,+\infty)$

$[\frac{7}{6},+\infty)$

Zadanie 8. (3pkt) Dane jest równanie $\dfrac{3}{3x-7}=\dfrac{5x}{x-8}$ gdzie $x\neq\frac{7}{3}$ i $x\neq8$. Wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału $(\frac{5}{4},+\infty)$. Zapisz obliczenia.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

3pkt

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Krok 1. Rozpisanie równania.
Tego typu równania najprościej jest rozwiązywać wykonując tzw. mnożenie na krzyż, zatem:
$$\frac{3}{3x-7}=\frac{5x}{x-8} \\
3\cdot(x-8)=(3x-7)\cdot5x \\
3x-24=15x^2-35x \\
-15x^2+38x-24=0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe zapisane w postaci ogólnej, zatem przy rozwiązaniu możemy posłużyć się deltą:

Współczynniki: $a=-15,\;b=38,\;c=-24$
$$Δ=b^2-4ac=38^2-4\cdot(-15)\cdot(-24)=1444-1440=4 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{4}=2$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-38-2}{2\cdot(-15)}=\frac{-40}{-30}=\frac{4}{3} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-38+2}{2\cdot(-15)}=\frac{-36}{-30}=\frac{6}{5}$$

Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Celem zadania jest podanie które z otrzymanych rozwiązań mieści się w przedziale $(\frac{5}{4},+\infty)$, czyli które rozwiązanie tak naprawdę jest większe od $1,25$. Taką liczbą będzie tylko $\frac{4}{3}$ (bo jest to w przybliżeniu $1,33$), zatem jedynym rozwiązaniem do tego zadania będzie $x=\frac{4}{3}$.

Zadanie 9. (2pkt) Rozwiąż nierówność $-3x^2\gt6x-9$. Zapisz obliczenia.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej.
Rozwiązywanie nierówności rozpoczynamy od przeniesienia wyrazów na lewą stronę, otrzymując następującą sytuację:
$$-3x^2\gt6x-9 \\
-3x^2-6x+9\gt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: $a=-3,\;b=-6,\;c=9$
$$Δ=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot(-3)\cdot9=36-(-108)=144 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{144}=12$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-6)-12}{2\cdot(-3)}=\frac{6-12}{-6}=\frac{-6}{-6}=1 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-6)+12}{2\cdot(-3)}=\frac{6+12}{-6}=\frac{18}{-6}=-3$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik kierunkowy $a$ jest ujemny, więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe $x=-3$ oraz $x=1$ (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak $\gt$) i rysujemy parabolę:

--rysunek dodam później---

Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Szukamy wartości większych od zera, czyli tych które znajdują się nad osią. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności będzie przedział:
$$x\in(-3,1)$$

Zadanie 10. (1pkt) Suma wszystkich rozwiązań równania $(3x-12)(10+5x)(x-3)=0$ jest równa:

$(-5)$

$(-1)$

$5$

$9$

Zadanie 11. (2pkt) Właściciel restauracji kupił $75$ kilogramów pomidorów: $x$ kg pomidorów malinowych w cenie $11$ złotych za kilogram oraz $y$ kg pomidorów cherry w cenie $7,98$ złotych za kilogram. Za pomidory zapłacił łącznie $752,52$ złotych. Oblicz, ile kilogramów pomidorów malinowych kupił właściciel restauracji. Zapisz obliczenia.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Krok 1. Zapisanie równań.
Z treści wynika, że łącznie wszystkich pomidorów było $75kg$, więc możemy zapisać, że:
$$x+y=75$$

Dodatkowo bazując na cenie pomidorów i łącznym ich koszcie zakupu możemy zapisać, że:
$$11x+7,98y=752,52$$

Bazując na tych dwóch równaniach możemy stworzyć prosty układ równań:
\begin{cases}
x+y=75 \\
11x+7,98y=752,52
\end{cases}

Krok 2. Rozwiązanie układu równań.
Nasz układ możemy rozwiązać na różne sposoby, ale najprościej będzie chyba wykorzystać metodę podstawiania. Z pierwszego równania wynika wprost, że $y=75-x$, zatem podstawiając to wyrażenie do drugiego równania, otrzymamy:
$$11x+7,98\cdot(75-x)=752,52 \\
11x+598,5-7,98x=752,52 \\
3,02x=154,02 \\
x=51$$

Przez $x$ oznaczono liczbę kilogramów pomidorów malinowych, a to oznacza, że właściciel kupił $51kg$ pomidorów malinowych.

Zadanie 12. (4pkt) Funkcja $f$ jest określona następująco:
$f(x)=\begin{cases} -2x-10 \text{ dla } x\in(-5, -3] \\ x-1 \text{ dla } x\in(-3, 4] \end{cases}$

Wykres funkcji $y=f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ na rysunku poniżej.
matura z matematyki

Zadanie 12.1. Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba $.......$
2. Wartość wyrażenia $f(-2)+3\cdot f(2)$ jest równa $.......$
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Miejsce zerowe to taki argument $x$, dla którego funkcja przyjmuje wartość równą $0$. Zerkamy więc na wykres i sprawdzamy, dla jakiego argumentu następuje taka sytuacja i widzimy, że jedynym miejscem zerowym tej funkcji będzie liczba $1$.

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Wyrażenie wygląda dość nietypowo, ale tak naprawdę idea zadania polega na tym, by z wykresu odczytać jaka jest wartość $f(-2)$ oraz $f(2)$ (czyli jakie wartości przyjmuje funkcja dla argumentów $x=-2$ oraz $x=2$), a następnie by podstawić te wartości do wyrażenia. Z wykresu odczytujemy, że $f(-2)=-3$, natomiast $f(2)=1$. W związku z tym wartość tego wyrażenia będzie równa:
$$-3+3\cdot1=-3+3=0$$

Zadanie 12.2. Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $.......$
2. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $f(x)\lt-2$ jest przedział $.......$
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Widzimy, że funkcja przyjmuje wartości od $-4$ aż do $3$ włącznie, zatem zbiorem wartości będzie przedział $[-4,3]$.

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Chcemy się dowiedzieć dla jakich argumentów $x$ funkcja przyjmuje wartości mniejsze niż $-2$. Zerkamy więc na wykres i widzimy, że dzieje się tak dla argumentów z przedziału $(-4,-1)$. Nawiasy dajemy tutaj otwarte, ponieważ dla tych krańcowych wartości przyjmowana wartość jest równa dokładnie $-2$, a miała być mniejsza niż $-2$.

Zadanie 13. (1pkt) Miejscem zerowym funkcji liniowej $g$ jest liczba $(-3)$. Dla argumentu $0$ funkcja $g$ przyjmuje wartość $(-\frac{3}{2})$. Funkcja $g$ jest określona wzorem:

$g(x)=-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$

$g(x)=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$

$g(x)=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$

$g(x)=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$

Zadanie 14. (3pkt) Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{1}{2}x^2+bx+c$, gdzie $b$ oraz $c$ są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji $f$ jest liczba $6$. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ prosta o równaniu $x=1$ jest osią symetrii wykresu funkcji $f$.

Zadanie 14.1. Funkcja $f$ jest określona wzorem:

$f(x)=\frac{1}{2}(x-4)(x-6)$

$f(x)=\frac{1}{2}(x-4)(x+6)$

$f(x)=\frac{1}{2}(x+4)(x-6)$

$f(x)=\frac{1}{2}(x+4)(x+6)$

Zadanie 14.2. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz $P$, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo $F$ – jeśli jest fałszywe.

Współczynnik $b$ we wzorze funkcji $f$ jest liczbą dodatnią.

Współczynnik $c$ we wzorze funkcji $f$ jest liczbą dodatnią.

Zadanie 14.3. Funkcja $g$ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wzorem $g(x)=f(x-3)$. Osią symetrii wykresu funkcji $g$ jest prosta o równaniu:

$x=-2$

$x=1$

$x=3$

$x=4$

Zadanie 15. (1pkt) Ciąg $((a_{n})$ jest określony wzorem $a_{n}=\dfrac{32\cdot (-1)^n}{2^{n-1}}$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$. Szósty wyraz ciągu $(a_{n})$ jest równy:

$(-2)$

$(-1)$

$1$

$2$

Zadanie 16. (1pkt) Ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$. Różnica tego ciągu jest równa $(-4)$ oraz $a_{10}=-24$. Szósty wyraz ciągu $(a_{n})$ jest równy:

$(-12)$

$(-8)$

$(-4)$

$0$

Zadanie 17. (1pkt) Ciąg geometryczny $(a_{n})$, o wszystkich wyrazach rzeczywistych różnych od $0$, jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek $a_3=-8\cdot a_6$. Iloraz ciągu $(a_{n})$ jest równy:

$(-2)$

$(-\frac{1}{2})$

$\frac{1}{2}$

$2$

Zadanie 18. (1pkt) Trzywyrazowy ciąg $(\sqrt{5}, 1, x)$ jest arytmetyczny. Trzywyrazowy ciąg $(\sqrt{5}, 1, y)$ jest geometryczny. Liczby $x$ oraz $y$ spełniają warunki:

$x\lt0$ i $y\lt0$

$x\lt0$ i $y\gt0$

$x\gt0$ i $y\lt0$

$x\gt0$ i $y\gt0$

Zadanie 19. (1pkt) Kąt $\alpha$ jest ostry oraz $cos\alpha=\frac{5}{13}$. Tangens kąta $\alpha$ jest równy:

$\frac{5}{12}$

$\frac{12}{13}$

$\frac{13}{12}$

$\frac{12}{5}$

Zadanie 20. (1pkt) Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba $sin30°\cdot cos60°+sin60°\cdot cos30°$ jest równa:

$\frac{1}{2}$

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

$1$

Zadanie 21. (2pkt) Punkty $A$, $B$, $C$ oraz $D$ leżą na okręgu o środku w punkcie $S$ i o promieniu $36$. Punkt $S$ leży na odcinku $BD$. Kąt $BDA$ ma miarę $40°$, a kąt $DBC$ ma miarę $65°$.
matura z matematyki

Zadanie 21.1. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta ostrego $BSA$ jest równa:

$20^\circ$

$40^\circ$

$50^\circ$

$80^\circ$

Zadanie 21.2. Długość łuku $BC$, na którym jest oparty kąt wpisany $CDB$, jest równa:

$8\pi$

$10\pi$

$13\pi$

$20\pi$

Zadanie 22. (2pkt) Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $|AB|=6$, $|AC|=4$ oraz $|\sphericalangle CAB|=60°$.
matura z matematyki

Zadanie 22.1. Pole trójkąta $ABC$ jest równe:

$6$

$6\sqrt{3}$

$12$

$12\sqrt{3}$

Zadanie 22.2. Długość boku $BC$ trójkąta $ABC$ jest równa:

$\sqrt{28}$

$\sqrt{40}$

$8$

$\sqrt{76}$

Zadanie 23. (1pkt) Dany jest trapez $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ takich, że $|AB|=2\cdot |CD|$. Przekątne $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $E$.
matura z matematyki

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz $P$, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo $F$ – jeśli jest fałszywe.

Pola trójkątów $BCE$ oraz $AED$ są równe.

Pole trójkąta $ABE$ jest dwa razy większe od pola trójkąta $CDE$.

Zadanie 24. (1pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ proste $k$ oraz $l$ są określone równaniami:
$k: y=(3-m)x+5$
$l: y=(m+3)x-4$

Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.
Proste $k$ oraz $l$ są równoległe, gdy liczba $m$ jest równa $.......$
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy mają jednakowy współczynnik kierunkowy $a$. W naszym przypadku oznaczałoby to, że musimy sprawdzić kiedy $3-m$ będzie równe $m+3$, zatem musimy rozwiązać następujące równanie:
$$3-m=m+3 \\
-2m=0 \\
m=0$$

To oznacza, że te dwie proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy $m=0$.

Zadanie 25. (1pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dany jest okrąg $\mathcal{O}$ o równaniu $\mathcal{O}: (x-1)^2+(y+3)^2=4$.
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz $P$, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo $F$ – jeśli jest fałszywe.

Okrąg $\mathcal{O}$ nie ma punktów wspólnych z osią $Ox$ układu współrzędnych.

Okrąg $\mathcal{O}$ ma z osią $Oy$ układu współrzędnych dokładnie dwa punkty wspólne.

Zadanie 26. (4pkt) Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny $ABCDEF$. Wysokość podstawy $ABC$ jest równa $2\sqrt{3}$. Przekątna $AE$ ściany bocznej $ABED$ tworzy z krawędzią $AB$ kąt o mierze $60°$.
matura z matematyki

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

3pkt

4pkt

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Krok 1. Oblicznie długości krawędzi podstawy.
Skoro jest to graniatosłup prawidłowy trójkątny, to wiemy iż w jego podstawie znajduje się trójkąt równoboczny. Z rysunku wynika, że ten trójkąt ma wysokość równą $2\sqrt{3}$. Korzystając zatem ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego, możemy zapisać, że:
$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
2\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
4\sqrt{3}=a\sqrt{3} \\
a=4$$

Krok 2. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Spójrzmy na trójkąt prostokątny $ABE$. Jest to trójkąt o kątach $30°, 60°, 90°$. Obliczyliśmy przed chwilą, że ta dolna przyprostokątna ma długość $4$, zatem korzystając z własności tego trójkąta możemy stwierdzić, że ta dłuższa przyprostokątna będzie mieć długość $\sqrt{3}$ razy większą, czyli że tym samym $H=4\sqrt{3}$.

Krok 3. Obliczenie pola podstawy.
W podstawie znajduje się trójkąt równoboczny o boku $a=4$, zatem korzystając ze wzoru na pole takiego trójkąta możemy stwierdzić, że:
$$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{4^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{16\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=4\sqrt{3}$$

Krok 4. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Korzystając ze wzoru na objętość graniastosłupa, możemy zapisać, że:
$$V=P_{p}\cdot H \\
V=4\sqrt{3}\cdot4\sqrt{3} \\
V=16\cdot3 \\
V=48$$

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa.
Na pole powierzchni całkowitej składają się dwa pola podstawy oraz trzy ściany boczne, które są prostokątami o bokach $4\times4\sqrt{3}$. Skoro tak, to:
$$P_{c}=2\cdot4\sqrt{3}+3\cdot4\cdot4\sqrt{3} \\
P_{c}=8\sqrt{3}+48\sqrt{3} \\
P_{c}=56\sqrt{3}$$

Zadanie 27. (1pkt) Objętość walca o promieniu podstawy $2$ jest równa $16\pi^2$. Wysokość tego walca jest równa:

$2$

$4$

$2\pi$

$4\pi$

Zadanie 28. (1pkt) Wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych większych od $500$, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry nieparzyste, jest:

$13$

$50$

$75$

$107$

Zadanie 29. (2pkt) Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Zapisujemy kolejno liczby wyrzuconych oczek i w ten sposób otrzymujemy liczbę dwucyfrową, przy czym pierwsza wyrzucona liczba oczek jest cyfrą dziesiątek, a druga – cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa będzie nieparzysta i podzielna przez $3$. Zapisz obliczenia.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
W każdym rzucie może wypaść jeden z sześciu wyników. Skoro rzucamy kostką dwukrotnie, to zgodnie z regułą mnożenia wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć $|Ω|=6\cdot6=36$.

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającymi zdarzeniami są wszystkie te sytuacje w których otrzymamy liczbę nieparzystą, podzielną przez $3$. Takich zdarzeń wbrew pozorom nie jest wiele (zwłaszcza, że cyfrą jedności może być tylko $1$, $3$ lub $5$), zatem wypiszmy te możliwości:
$$15, 21, 33, 45, 51, 63$$

To oznacza, że tylko $6$ przypadków spełnia warunki zadania, stąd też możemy napisać, że $|A|=6$.

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$$

Zadanie 30. (3pkt) W stacji diagnostycznej odnotowywano liczby usterek wykrytych podczas przeglądów technicznych pięcioletnich samochodów w lipcu $2025$ roku. Wszystkie odnotowane wyniki przedstawiono na poniższym diagramie. Na osi poziomej podano liczbę usterek, które zostały wykryte podczas przeglądów, a na osi pionowej podano liczbę samochodów, w których wykryto daną liczbę usterek.
matura z matematyki

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Dominanta liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów jest równa $.......$
2. Średnia arytmetyczna liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów jest równa $.......$
3. Liczba samochodów, w których wykryto podczas tych przeglądów co najmniej dwie usterki, stanowi $.......$ procent liczby samochodów, w których wykryto dokładnie jedną usterkę.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

3pkt

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Dominanta to wynik, który w danym zdarzeniu występuje najczęściej. Widzimy, że najczęściej mieliśmy jedną usterkę, stąd też dominanta jest tutaj równa $1$.

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Średnia arytmetyczna będzie równa:
$$śr=\frac{16\cdot1+10\cdot2+6\cdot3+2\cdot4+2\cdot5}{16+10+6+2+2} \\
śr=\frac{16+20+18+8+10}{36} \\
śr=\frac{72}{36} \\
śr=2$$

Krok 3. Rozwiązanie trzeciej części zadania.
Przynajmniej dwie usterki wykryto w $10+6+2+2=20$ samochodach. Jedna usterka wystąpiła w $16$ samochodach. To oznacza, że liczba samochodów z przynajmniej dwoma usterkami stanowi $\frac{20}{16}=125\%$ liczby samochodów z jedną usterką.

Zadanie 31. (2pkt) Hotel ma do dyspozycji gości $80$ pokoi jednoosobowych.
Właściciel hotelu przeanalizował wpływ ceny za dobę hotelową na liczbę wynajętych pokoi i stwierdził, że:
• przy wyjściowej cenie wynoszącej $120$ zł za jedną dobę hotelową wszystkie pokoje są wynajęte
• każdy wzrost ceny za dobę hotelową o $5$ zł skutkuje spadkiem liczby wynajmowanych pokoi o $1$.
Przyjmijmy, że dobowy przychód $P$ hotelu z wynajmowania pokoi, w zależności od podwyżki ceny wyjściowej za dobę hotelową o $5x$ złotych, opisuje funkcja $P(x)=(80-x)(120+5x)$ gdzie $x$ jest liczbą całkowitą spełniającą warunki $x\ge0$ i $x\le80$.
Oblicz, jaka powinna być cena wynajęcia jednoosobowego pokoju (za dobę hotelową), aby dobowy przychód hotelu z wynajmowania pokoi był największy. Zapisz obliczenia.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Krok 1. Ustalenie, kiedy dzienny przychód będzie największy.
$P(x)$ jest funkcją kwadratową, która jest zapisana w postaci iloczynowej $P(x)=(80-x)(120+5x)$. Wykres tej funkcji będzie parabolą z ramionami skierowanymi do dołu (dobrze to widać w momencie, gdy wymnożymy przez siebie nawiasy - otrzymalibyśmy wtedy postać ogólną, w której na początku znajdzie się $-x^2$). Z własności funkcji kwadratowych wiemy, że w takim przypadku ta największa wartość przyjmowana będzie w wierzchołku.
--rysunek dodam później---

Musimy więc ustalić jaka jest pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, czyli musimy obliczyć $p$. Mamy tak naprawdę dwie możliwości. Możemy wymnożyć przez siebie te dwa nawiasy, uporządkować cały zapis do postaci ogólnej i z niej wyliczyć tę współrzędną za pomocą wzoru $p=\frac{-b}{2a}$. Ale możemy postąpić jeszcze sprytniej - z postaci iloczynowej bardzo łatwo możemy wyznaczyć miejsca zerowe tej funkcji (wystarczy przyrównać nawiasy do zera), a z własności parabol wiemy, że współrzędna $p$ będzie średnią arytmetyczną tych miejsc zerowych. I zastosujmy może to drugie podejście skoro jest taka okazja.

Obliczmy zatem miejsca zerowe, czyli sprawdźmy, kiedy $(80-x)(120+5x)=0$. Jest to równanie kwadratowe w postaci iloczynowej, więc przyrównujemy nawiasy do zera:
$$80-x=0 \quad\lor\quad 120+5x=0 \\
x=80 \quad\lor\quad 5x=-120 \\
x=80 \quad\lor\quad x=-24$$

Tym samym współrzędna $p$ wierzchołka paraboli będzie równa:
$$p=\frac{80+(-24)}{2} \\
p=\frac{56}{2} \\
p=28$$

To oznacza, że przychód będzie największy, gdy $x=28$.

Krok 2. Usalenie ceny wynajęcia jednoosobowego pokoju.
Wiemy już, że przychód będzie największy, gdy hotel wykona $28$ podwyżek o $5 zł$ (czyli obrazowo rzecz ujmując, gdy hotel zostawi $28$ pokoi pustych). Każdy niewynajęty pokój zwiększa cenę za dobę hotelową o $5 zł$, zatem ta cena powinna wzrosnąć o:
$$28\cdot5=140 zł$$

Cena wyjściowa wynosiła $120 zł$, zatem ostateczna cena wynajęcia pokoju powinna wynieść:
$$120zł+140zł=260zł$$

Zdobyłeś/aś: 0/50pkt

Zobacz swój test

Popraw test