Test

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Miejsca zerowe najprościej będzie obliczyć tzw. metodą delty:
Współczynniki: \(a=-3,\;b=3,\;c=36\)
$$Δ=b^2-4ac=3^2-4\cdot(-3)\cdot36=9+432=441 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{441}=21$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3-21}{2\cdot(-3)}=\frac{-24}{-6}=4 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3+21}{2\cdot(-3)}=\frac{18}{-6}=-3$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a\) jest ujemny bo jest równy \(-3\). To oznacza, że nasza parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu. Zaznaczamy na osi miejsca zerowe obliczone przed chwilą i szkicujemy wykres paraboli:



Punkty \(x=-3\) oraz \(x=4\) mają zamalowane kropki, bo w nierówności wystąpił znak \(\ge\).

Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wartości większe lub równe zero (czyli na osi lub nad nią) i widzimy, że funkcja przyjmuje takie wartości w przedziale \(x\in\langle-3;4\rangle\). To jest też nasza ostateczna odpowiedź.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawnie równanie z niewiadomą \(b\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Aby obliczyć współczynnik \(b\) wystarczy poprawnie skorzystać z informacji \(f(4)=-1\). Wiemy, że funkcja dla argumentu \(x=4\) przyjmuje wartość \(-1\), więc podstawiając te dane do wzoru funkcji otrzymamy:
$$f(x)=\frac{2x-b}{x-9} \\
-1=\frac{2\cdot4-b}{4-9} \\
-1=\frac{8-b}{-5} \quad\bigg/\cdot(-5) \\
5=8-b \\
b=3$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wysokość trapezu, czyli \(h=12\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy błędnie obliczysz wysokość trapezu, ale konsekwentnie do popełnionego błędu obliczysz pole trapezu.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Krok 2. Obliczenie długości odcinków \(AE\) oraz \(EB\).
Długość odcinka \(AE\) jest identyczna co długość odcinka \(DC\), więc:
$$|AE|=|DC|=6$$

Długość odcinka \(EB\) jest różnicą między dłuższą i krótszą podstawą, więc:
$$|EB|=|AB|-|DC|=10-6=4$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(CE\).
Aby móc obliczyć pole trapezu potrzebna nam jest znajomość jego wysokości. Musimy więc poznać długość odcinka \(AD\) lub \(CE\). Długości odcinka \(AD\) nie mamy jak wyliczyć, natomiast \(CE\) jesteśmy w stanie wyznaczyć korzystając z tangensa kąta ostrego, który zgodnie z treścią zadania jest równy \(3\). Z definicji tangensa wiemy, że tangens to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta \(α\) do długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie. Zatem:
$$tgα=\frac{|CE|}{|EB|} \\
3=\frac{|CE|}{4} \\
|CE|=12$$

To oznacza, że wysokość naszego trapezu jest równa \(12\).

Krok 4. Obliczenie pola trapezu.
$$P=\frac{1}{2}\cdot(a+b)\cdot h \\
P=\frac{1}{2}\cdot(6+10)\cdot12 \\
P=\frac{1}{2}\cdot16\cdot12 \\
P=8\cdot12 \\
P=96$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dorysujesz odcinek \(MD\) i dostrzeżesz fakt, że powstaną trójkąty przystające, ale nie udowodnisz tego w żaden geometryczny sposób (np. korzystając z cechy bok-kąt-bok).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Krok 1. Dorysowanie odcinka \(MD\).
To zadanie możemy udowodnić tak naprawdę na kilka sposobów, ale najprostszy z nich opierać się będzie na zaznaczeniu punktu \(D\) na odcinku \(BC\) w taki sposób, by odcinek \(MD\) był równoległy do odcinka \(AB\).



W ten sposób po dorysowaniu prostej równoległej otrzymaliśmy trójkąt równoboczny \(MDC\), co z kolei oznacza, że \(|CM|=|MD|\).
Ale to nie koniec spostrzeżeń. Z treści zadania wiemy, że \(|AM|=|CN|\), a to oznacza, że także \(|BD|=|CN|\).

Krok 2. Obliczenie miar kątów \(MCN\) oraz \(BDM\).
Jak już sobie powiedzieliśmy wcześniej, dorysowując prostą równoległą w trójkącie równobocznym \(ABC\) otrzymaliśmy mniejszy trójkąt równoboczny \(MDC\). To oznacza, że kąty wewnątrz tej figury są na pewno równe \(60°\). Skoro tak, to korzystając z własności kątów przyległych bez przeszkód wyznaczymy miary kątów \(MCN\) oraz \(BDM\) (patrz: rysunek).

$$|\sphericalangle MCN|=180°-60°=120° \\
|\sphericalangle BDM|=180°-60°=120°$$



Krok 3. Interpretacja wyników.
W pierwszym kroku udowodniliśmy że dwie pary boków są tej samej długości: \(|CM|=|MD|\) oraz \(|BD|=|CN|\). W drugim kroku udowodniliśmy, że kąt między tymi bokami ma identyczną miarę. Z powyższych rozważań możemy wywnioskować, że trójkąty \(MCN\) oraz \(MBD\) są przystające zgodnie z zasadą bok-kąt-bok. To kończy nasz dowód, bo skoro trójkąty \(MCN\) oraz \(MBD\) są przystające to \(|BM|=|MN|\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz iloraz ciągu geometrycznego (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie wartości drugiego wyrazu ciągu geometrycznego.
Skorzystamy tutaj z jednej z najważniejszych własności ciągu geometrycznego, która mówi nam o tym, że między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego (niekoniecznie muszą to być trzy pierwsze wyrazy) zachodzi zależność \({a_{n}}^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1}\) (dla \(n\ge2\)). Wykorzystując ten wzór obliczymy sobie wartość, która kryje się pod \(x\):
$${a_{n}}^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1} \\
{a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3} \\
x^2=64\cdot4 \\
x^2=256 \\
x=16 \quad\lor\quad x=-16$$

Wartość \(-16\) możemy odrzucić, bo zgodnie z informacją w treści zadania nasz ciąg jest malejący, a więc ciąg nie może wyglądać w ten sposób: \(64;\;-16;\;4\).

Krok 2. Obliczenie wartości \(q\).
Wartość \(q\) obliczymy dzieląc przez siebie dwa kolejne wyrazy ciągu, np. wyraz drugi przez pierwszy, albo trzeci przez drugi:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{16}{64}=\frac{1}{4}$$

Krok 3. Obliczenie wartości piątego wyrazu ciągu geometrycznego.
Znając \(q\) bez problemu obliczymy już dowolny wyraz naszego ciągu geometrycznego ze wzoru: \(a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}\) (dla \(n\ge2\)). Stąd też:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \\
a_{5}=a_{1}\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{5-1} \\
a_{5}=64\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{4} \\
a_{5}=64\cdot\frac{1}{256} \\
a_{5}=\frac{1}{4}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy podstawisz konkretne wartości liczbowe w miejsce niewiadomej \(n\).
1 pkt
• Gdy doprowadzisz liczbę do postaci \(3^n\cdot10-2^n\cdot5\) i nie udowodnisz dlaczego jest ona wielokrotnością liczby \(10\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Nasze zadanie tak naprawdę sprowadza się do znalezienia sposobu na wyłączenie przed nawias dziesiątki (lub jej wielokrotności), co ostatecznie udowodniłoby fakt, że ta liczba będzie wielokrotnością \(10\). Całość możemy rozpisać w następujący sposób:
$$3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n \\
3^{n+2}+3^n-2^{n+2}-2^n \\
3^n(3^2+1)-2^n(2^2+1) \\
3^n\cdot10-2^n\cdot5 \\
3^n\cdot10-2^{n-1}\cdot2\cdot5 \\
3^n\cdot10-2^{n-1}\cdot10 \\
10\cdot(3^n-2^{n-1})$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz średnią arytmetyczną (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz średnią arytmetyczną z błędem, ale adekwatnie do tego błędu policzysz kwadrat odchylenia standardowego (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie średniej arytmetycznej.
Aby obliczyć wartość średniej arytmetycznej musimy dodać do siebie wartość wszystkich zdobytych ocen i podzielić ją przez liczbę wszystkich uczniów:
$$\bar{a}=\frac{6\cdot1+5\cdot2+4\cdot6+3\cdot5+2\cdot9+1\cdot2}{1+2+6+5+9+2}=\frac{75}{25}=3$$

Krok 2. Obliczenie kwadratu odchylenia standardowego.
Kwadrat odchylenia standardowego (czyli wariancję) możemy obliczyć na dwa sposoby:
I sposób:
$$σ^2=\frac{(6-3)^2\cdot1+(5-3)^2\cdot2+(4-3)^2\cdot6+(3-3)^2\cdot5+(2-3)^2\cdot9+(1-3)^2\cdot2}{1+2+6+5+9+2}= \\
=\frac{3^2\cdot1+2^2\cdot2+1^2\cdot6+0^2\cdot5+(-1)^2\cdot9+(-2)^2\cdot2}{25}= \\
=\frac{9\cdot1+4\cdot2+1\cdot6+0\cdot5+1\cdot9+4\cdot2}{25}= \\
=\frac{9+8+6+0+9+8}{25}=\frac{40}{25}=1,6$$

II sposób:
$$σ^2=\frac{6^2\cdot1+5^2\cdot2+4^2\cdot6+3^2\cdot5+2^2\cdot9+1^2\cdot2}{1+2+6+5+9+2}-(\bar{a})^2= \\
=\frac{36\cdot1+25\cdot2+16\cdot6+9\cdot5+4\cdot9+1\cdot2}{25}-3^2= \\
=\frac{36+50+96+45+36+2}{25}-9=\frac{265}{25}-9=10,6-9=1,6$$

Uwaga! Nie musimy pierwiastkować otrzymanego wyniku! Wariancję po prostu oznacza się jako \(σ^2\), a nie jako \(σ\), stąd też wynik \(1,6\) jest naszym wynikiem końcowym.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.)
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.)
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Na każdej kostce może wypaść jeden z sześciu wyników, a skoro rzucamy niezależnie dwoma kostkami, to liczba wszystkich kombinacji będzie równa \(|Ω|=6\cdot6=36\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającymi zdarzeniami (czyli takimi, które spełniają warunki naszego zadania) jest pięć kombinacji:
$$(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)$$

Stąd też możemy napisać, że \(|A|=5\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{5}{36}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długości odcinków \(|CO|=2\sqrt{3}\) oraz \(|BO|=2\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa, czyli \(|SO|=\sqrt{88}=2\sqrt{22}\) (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi bocznej ostrosłupa, czyli \(|BS|=\sqrt{92}=2\sqrt{23}\) (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy obliczysz tangens kąta nachylenia krótszej krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy, czyli \(tgβ=\sqrt{22}\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Stwórzmy sobie szkic rysunku na którym zaznaczymy wszystkie informacje z treści zadania.



Krok 2. Obliczenie długości odcinków \(CO\) oraz \(BO\).
Wbrew pozorom nie będą to odcinki równej długości, bo przecież przekątne rombu mają różne długości.

Przekątne rombu dzielą kąty przy wierzchołkach na dwie równe części. To oznacza, że kąty \(CBD\) oraz \(CDB\) mają po \(60°\). To z kolei powoduje, że trójkąt \(BCD\) jest trójkątem równobocznym o boku długości \(4\). Analogicznie będzie z trójkątem \(ABD\). Wszystko wyjaśni poniższy rysunek z zaznaczonymi kątami i z niebieskimi liniami, które mówią nam o tym które tworzą dwa trójkąty równoboczne:



To dla nas bardzo ważna informacja, bo teraz bez przeszkód obliczymy długość odcinka \(CO\), który jest wysokością trójkąta równobocznego \(BCD\) o boku \(a=4\).
$$|CO|=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$$

Skoro ustaliliśmy sobie, że trójkąt \(BCD\) jest równoboczny, to znaczy że przekątna \(BD\) ma także długość \(4\). Przekątne w rombie przecinają się w połowie swojej długości, a to pozwoli nam na obliczenie długości boku \(BO\):
$$|BO|=4:2=2$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(SO\), czyli wysokości ostrosłupa.
W poprzednim kroku obliczyliśmy długość odcinka \(|CO|=2\sqrt{3}\). Z treści zadania znamy też długość krawędzi \(|SC|=10\). To oznacza, że bez przeszkód obliczymy wysokość \(SO\) naszego ostrosłupa korzystając z Twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(SOC\):
$$a^2+b^2=c^2 \\
|SO|^2+|CO|^2=|SC|^2 \\
|SO|^2+(2\sqrt{3})^2=10^2 \\
|SO|^2+4\cdot3=100 \\
|SO|^2+12=100 \\
|SO|^2=88 \\
|SO|=\sqrt{88} \quad\lor\quad |SO|=-\sqrt{88}$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo bok musi mieć dodatnią długość i jest ona równa \(|SO|=\sqrt{88}=2\sqrt{22}\).

Krok 4. Obliczenie długości odcinka \(BS\) (czyli naszej krawędzi bocznej).
Tu ponownie skorzystamy sobie z Twierdzenia Pitagorasa, tym razem wobec trójkąta \(BOS\). Znamy wysokości obu przyprostokątnych \(|BO|=2\) (wyliczyliśmy to w drugim kroku) oraz \(|SO|=2\sqrt{22}\) (wyliczyliśmy to w trzecim kroku), więc bez przeszkód wyznaczymy długość krawędzi \(BS\):
$$a^2+b^2=c^2 \\
|BO|^2+|SO|^2=|BS|^2 \\
2^2+(2\sqrt{22})^2=|BS|^2 \\
4+4\cdot22=|BS|^2 \\
|BS|^2=92 \\
|BS|=\sqrt{92} \quad\lor\quad |BS|=-\sqrt{92}$$

Wartość ujemną także oczywiście odrzucamy, więc zostaje nam \(|BS|=\sqrt{92}=2\sqrt{23}\).

Krok 5. Obliczenie wartości sinusa.
Znamy już wszystkie potrzebne miary, więc na koniec musimy obliczyć jeszcze sinus kąta nachylenia krawędzi \(BS\) do płaszczyzny podstawy ostrosłupa:
$$sinα=\frac{|SO|}{|BS|}=\frac{2\sqrt{22}}{2\sqrt{23}}=\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{23}}=\sqrt{\frac{22}{23}}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz, że współrzędne środka okręgu zależą od jego promienia \(S=(r,r)\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy dostrzeżesz, że środki okręgów leżą na prostej o równaniu \(y=x\).
ALBO
• Gdy zapiszesz poprawnie równanie jednego z dwóch okręgów, ale nie sporządzisz do tego żadnych obliczeń.
2 pkt
• Gdy otrzymasz równanie kwadratowe z jedną niewiadomą (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy zapiszesz poprawnie równania dwóch okręgów, ale nie sporządzisz do nich żadnych obliczeń.
3 pkt
• Gdy rozwiążesz zadanie do końca, ale otrzymany wynik jest zły jedynie z powodu błędów rachunkowych.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Wnioski jakie płyną z tego rysunku są następujące:
- na pewno ten okrąg (a w zasadzie okręgi) będą leżeć w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych, bo nie ma innej możliwości skoro muszą przechodzić przez punkt \(A=(2;1)\).
- w każdym przypadku odległość od obu osi jest równa promieniowi okręgu. Skoro tak, to środek każdego z okręgów będzie przybierał postać typu \(S=(r;r)\).

Krok 2. Podstawienie współrzędnych punktu \(A=(2;1)\) do wzoru na równanie okręgu.
Wiemy z tablic matematycznych, że wzór na równanie okręgu ma postać:
$$(x-r)^2+(y-r)^2=r^2$$

Podstawiając pod ten wzór współrzędne punktu \(A=(2;1)\) przez które okrąg przechodzi (czyli \(x=2\), \(y=1)\) otrzymamy:
$$(2-r)^2+(1-r)^2=r^2 \\
4-4r+r^2+1-2r+r^2=r^2 \\
2r^2-6r+5=r^2 \\
r^2-6r+5=0$$

Krok 3. Obliczenie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-6,\;c=5\)
$$Δ=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot1\cdot5=36-20=16 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{16}=4$$

$$r_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-6)-4}{2\cdot1}=\frac{6-4}{2}=\frac{2}{2}=1 \\
r_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-6)+4}{2\cdot1}=\frac{6+4}{2}=\frac{10}{2}=5$$

Krok 4. Zapisanie równań okręgów przechodzących przez wskazany punkt.
Otrzymaliśmy dwie możliwości \(r=1 \quad\lor\quad r=5\). Obydwie możliwości są poprawne, żadnej nie odrzucamy (moglibyśmy odrzucić gdyby np. jedna z wartości była ujemna). To oznacza, że otrzymamy dwa równania okręgów:
Okrąg mniejszy: \((x-1)^2+(y-1)^2=1^2\), czyli \((x-1)^2+(y-1)^2=1\)
Okrąg większy: \((x-5)^2+(y-5)^2=5^2\), czyli \((x-5)^2+(y-5)^2=25\)

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz sensowne oznaczenia i zapiszesz podstawowe relacje między nimi (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednie relacje w formie równania z dwoma niewiadomymi lub w postaci układu równań (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy sprowadzisz obliczenia do postaci równania z jedną niewiadomą, czyli postaci w której występuje jedynie niewiadoma \(v\) lub \(t\) (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie do postaci ogólnej równania kwadratowego (patrz: Krok 2.), ale samo równanie kwadratowe (patrz: Krok 3.) rozwiążesz błędnie.
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
ALBO
• Gdy źle zinterpretujesz otrzymane wyniki z równania kwadratowego.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wypisanie danych z zadania.
Musimy sobie dokładnie zapisać i uporządkować wszystkie dane, które przydadzą nam się do rozwiązania tego zadania.
\(v_{1}\) - prędkość pierwszego turysty (w \(\frac{km}{h}\))
\(v_{2}\) - prędkość drugiego turysty (w \(\frac{km}{h}\))
\(t\) - czas po jakim pierwszy turysta spotkał drugiego (w godzinach)

Takie uwzględnienie danych pozwoli nam na zapisanie kolejnych relacji:
\(v_{1}\cdot t\) - trasa jaką pokonał pierwszy turysta do momentu spotkania
\(v_{2}\cdot (t-1)\) - trasa jaką pokonał drugi turysta do momentu spotkania (dajemy \(-1\), bo drugi turysta szedł o godzinę krócej)
\(v_{1}\cdot t+v_{2}\cdot (t-1)=18\) - wiemy, że suma pokonanych tras pierwszego i drugiego turysty jest na pewno równa \(18\)

Wszystkie powyższe relacje były związane z momentem spotkania się dwóch turystów, ale z zadania możemy jeszcze wydobyć informacje o zależnościach pomiędzy dalszymi odcinkami trasy (po spotkaniu).

Pierwszy turysta poruszał się z prędkością \(v_{1}\) jeszcze przez \(1,5\) godziny i w tym czasie pokonał on dystans \(18-v_{1}\cdot t\). To znaczy, że:
$$1,5\cdot v_{1}=18-v_{1}\cdot t$$

Drugi turysta poruszał się z prędkością \(v_{2}\) jeszcze przez \(4\) godziny i w tym czasie pokonał on dystans \(18-v_{2}\cdot (t-1)\). To znaczy, że:
$$4\cdot v_{2}=18-v_{2}\cdot (t-1)$$

Krok 2. Ułożenie odpowiedniego układu równań.
Z powyższych danych jesteśmy w stanie utworzyć układ zawierający aż trzy równania:
\begin{cases}
v_{1}\cdot t+v_{2}\cdot (t-1)=18 \\
1,5\cdot v_{1}=18-v_{1}\cdot t \\
4\cdot v_{2}=18-v_{2}\cdot (t-1)
\end{cases}

To dla nas bardzo komfortowa sytuacja i możemy teraz wyliczyć poszczególne niewiadome na bardzo wiele sposobów. Wydaje się, że najpierw najprościej będzie wyznaczyć wartości \(v_{1}\) oraz \(v_{2}\) z dwóch ostatnich równań i podstawić je do pierwszego równania, stąd też:

$$1,5\cdot v_{1}=18-v_{1}\cdot t \Rightarrow v_{1}=\frac{18}{t+1,5} \\
4\cdot v_{2}=18-v_{2}\cdot (t-1) \Rightarrow v_{2}=\frac{18}{t+3}$$

Podstawiając te dane do pierwszego równania otrzymamy:
$$\require{cancel}
\frac{18}{t+1,5}\cdot t+\frac{18}{t+3}\cdot (t-1)=18 \quad\bigg/\cdot (t+1,5)(t+3) \\
18\cdot(t+3)\cdot t+18\cdot(t+1,5)\cdot(t+1,5)\cdot(t-1)=18\cdot(t+1,5)(t+3) \\
(18t+54)t+(18t+27)(t-1)=(18t+27)(t+3) \\
18t^2+\cancel{54t}+\cancel{18t^2}-18t+\cancel{27t}-27=\cancel{18t^2}+\cancel{54t}+\cancel{27}+81 \\
18t^2-18t-108=0 \quad\bigg/:18 \\
t^2-t-6=0$$

Krok 3. Obliczenie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-1,\;c=-6\)
$$Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)=1+24=25 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{25}=5$$

$$t_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)-5}{2\cdot1}=\frac{1-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2 \\
t_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)+5}{2\cdot1}=\frac{1+5}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Ujemny wynik możemy odrzucić, bo czas wędrówki musi być dodatni. Zostaje nam więc \(t=3\).

Krok 4. Obliczenie prędkości dwóch turystów.
W drugim kroku wyznaczyliśmy sobie dwa wzory na prędkość obydwu wędrowców: \(v_{1}=\frac{18}{t+1,5}\) oraz \(v_{2}=\frac{18}{t+3}\). Skorzystamy z nich teraz, podstawiając wyliczony przed chwilą czas \(t=3\).
$$v_{1}=\frac{18}{t+1,5}=\frac{18}{3+1,5}=\frac{18}{3+1,5}=4\left[\frac{km}{h}\right] \\
v_{2}=\frac{18}{t+3}=\frac{18}{3+3}=\frac{18}{6}=3\left[\frac{km}{h}\right]$$