Test - Szalone Liczby

Uwaga! Nie uzupełniłeś jeszcze wszystkich zadań.
Napewno chcesz zakończyć test?

Matura poprawkowa z matematyki (poziom podstawowy) - Sierpień 2024 (stara matura - formuła 2015)

Łącznie do zdobycia jest 46 punktów, a sugerowany maksymalny czas rozwiązywania to 180 minut.

Zadanie 1. (1pkt) Komputer początkowo kosztował $2950 zł$. Po trzech miesiącach jego cenę obniżono o $20\%$. Po kolejnym miesiącu nową cenę obniżono o kolejnych $20\%$. Cena komputera po tych dwóch obniżkach jest równa:

$2360 zł$

$1888 zł$

$2832 zł$

$1770 zł$

Zadanie 2. (1pkt) Liczba $\left(\frac{4}{25}\right)^{-0,5}$ jest równa:

$0,04$

$0,8$

$2,5$

$0,4$

Zadanie 3. (1pkt) Liczba $log_{2}40-log_{2}5$ jest równa:

$2$

$3$

$4$

$8$

Zadanie 4. (1pkt) Liczba $(\sqrt{8}-\sqrt{2})(\sqrt{2}+\sqrt{8})$ jest równa:

$60$

$6$

$\sqrt{60}$

$0$

Zadanie 5. (1pkt) Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $\dfrac{3(6-x)}{17}\le3$ jest przedział:

$(-\infty,-11)$

$(-\infty,-11\rangle$

$(-11,+\infty)$

$\langle-11,+\infty)$

Zadanie 6. (1pkt) Rozwiązaniem równania $\dfrac{x-1}{2x-6}=\dfrac{4}{7}$ jest liczba:

$(-5)$

$(-2)$

$1$

$17$

Zadanie 7. (1pkt) Równanie $\dfrac{x(x+5)(2-x)}{2x+4}=0$ w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie:

dwa rozwiązania: $(-5)$ oraz $2$

dwa rozwiązania: $(-5)$ oraz $0$

trzy rozwiązania: $(-5)$, $0$ oraz $2$

cztery rozwiązania: $(-5)$, $(-2)$, $0$ oraz $2$

Zadanie 8. (1pkt) Na rysunku, w układzie współrzędnych $(x,y)$, przedstawiono interpretację geometryczną jednego z poniższych układów równań A–D.
matura z matematyki

Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest:

$\begin{cases}
y=x+2 \\
y=2x-3
\end{cases}$

$\begin{cases}
y=-x+2 \\
y=2x-3
\end{cases}$

$\begin{cases}
y=x+2 \\
y=-2x-3
\end{cases}$

$\begin{cases}
y=-x+2 \\
y=2x+3
\end{cases}$

Zadanie 9. (1pkt) Funkcja $y=f(x)$ jest określona za pomocą tabeli:
matura z matematyki

Największa wartość funkcji $f$ jest równa:

$2$

$4$

$5$

$6$

Zadanie 10. (1pkt) Funkcja $y=f(x)$ jest określona za pomocą tabeli:
matura z matematyki

Miejsce zerowe funkcji $f$ jest równe:

$0$

$1$

$2$

$4$

Zadanie 11. (1pkt) Pusta bańka na mleko o pojemności $10$ litrów ma masę $6,5 kg$. Jeden litr mleka ma masę $1,03 kg$. Niech $x$ oznacza liczbę litrów mleka w tej bańce, a $g(x)$ oznacza wyrażoną w kilogramach masę bańki wraz z mlekiem, gdzie $x\in\langle0,10\rangle$.

Największa wartość funkcji $g$ jest równa:

$16,8$

$15,8$

$11,3$

$10,3$

Zadanie 12. (1pkt) Pusta bańka na mleko o pojemności $10$ litrów ma masę $6,5 kg$. Jeden litr mleka ma masę $1,03 kg$. Niech $x$ oznacza liczbę litrów mleka w tej bańce, a $g(x)$ oznacza wyrażoną w kilogramach masę bańki wraz z mlekiem, gdzie $x\in\langle0,10\rangle$.

Funkcja $g$ jest określona wzorem:

$g(x)=6,5x+1,03$

$g(x)=1,03x+10$

$g(x)=10x+1,03$

$g(x)=1,03x+6,5$

Zadanie 13. (1pkt) W układzie współrzędnych $(x,y)$ przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osią $Ox$ układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.
matura z matematyki

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział:

$(-\infty, -2\rangle$

$\langle1, +\infty)$

$\langle-1, 3\rangle$

$\langle-2, +\infty)$

Zadanie 14. (1pkt) W układzie współrzędnych $(x,y)$ przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osią $Ox$ układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.
matura z matematyki

Osią symetrii wykresu funkcji $f$ jest prosta o równaniu:

$x=1$

$y=1$

$x=-2$

$y=-2$

Zadanie 15. (1pkt) W układzie współrzędnych $(x,y)$ przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osią $Ox$ układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.
matura z matematyki

Funkcja $f$ jest określona wzorem:

$f(x)=\frac{1}{2}(x-1)^2+2$

$f(x)=\frac{1}{2}(x+1)^2+2$

$f(x)=\frac{1}{2}(x-1)^2-2$

$f(x)=\frac{1}{2}(x+1)^2-2$

Zadanie 16. (1pkt) Trzywyrazowy ciąg $(2m-5, 4, 9)$ jest arytmetyczny. Liczba $m$ jest równa:

$(-1)$

$2$

$3$

$\frac{61}{18}$

Zadanie 17. (1pkt) Dany jest ciąg geometryczny $(a_{n})$ określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$, w którym $a_{2}=2$ oraz $a_{5}=54$. Iloraz ciągu $(a_{n})$ jest równy:

$3$

$9$

$\frac{52}{3}$

$27$

Zadanie 18. (1pkt) Ciąg $(a_{n})$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$. Suma $n$ początkowych wyrazów tego ciągu wyraża się wzorem $S_{n}=n^2+2n$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$. Trzeci wyraz ciągu $(a_{n})$ jest równy:

$5$

$7$

$13$

$15$

Zadanie 19. (1pkt) W trójkącie prostokątnym $ABC$ sinus kąta $CAB$ jest równy $\frac{3}{5}$, a przeciwprostokątna $AB$ jest o $8$ dłuższa od przyprostokątnej $BC$. Długość przeciwprostokątnej $AB$ tego trójkąta jest równa:

$18$

$20$

$24$

$25$

Zadanie 20. (1pkt) Kąt $\alpha$ jest ostry oraz $cos\alpha=\frac{24}{25}$. Tangens kąta $\alpha$ jest równy:

$\frac{7}{18}$

$\frac{7}{24}$

$\frac{7}{25}$

$\frac{18}{25}$

Zadanie 21. (1pkt) Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $|AB|=5$, $|AC|=2$ oraz $sin|\sphericalangle BAC|=\frac{3}{5}$. Pole trójkąta $ABC$ jest równe:

$3$

$5$

$6$

$10$

Zadanie 22. (1pkt) Punkty $K$, $L$ oraz $M$ leżą na okręgu o środku w punkcie $S$. Miara kąta $KSM$ jest równa $160°$ (zobacz rysunek).
matura z matematyki

Miara kąta wpisanego $KLM$ jest równa:

$80°$

$90°$

$100°$

$110°$

Zadanie 23. (1pkt) W układzie współrzędnych $(x,y)$ proste $k$ oraz $l$ są określone równaniami:
$$k:\quad y=(3m-2)x-2 \\
l:\quad y=(2m+4)x+2$$

Proste $k$ oraz $l$ są równoległe, gdy liczba $m$ jest równa:

$(-6)$

$(-2)$

$2$

$6$

Zadanie 24. (1pkt) W układzie współrzędnych $(x,y)$ odcinek o końcach $A=(-4,7)$ oraz $B=(6,-1)$ jest średnicą okręgu $O$. Środkiem okręgu $O$ jest punkt o współrzędnych:

$(1,3)$

$(5,-4)$

$(1,-3)$

$(5,4)$

Zadanie 25. (1pkt) Liczba wszystkich ścian ostrosłupa prawidłowego jest równa $12$. Liczba wszystkich wierzchołków tego ostrosłupa jest równa:

$10$

$11$

$12$

$13$

Zadanie 26. (1pkt) Dany jest prostopadłościan $ABCDEFGH$, w którym podstawy $ABCD$ i $EFGH$ są kwadratami o boku długości $6$. Przekątna $BH$ tego prostopadłościanu tworzy z przekątną $AH$ ściany bocznej $ADHE$ kąt o mierze $30°$ (zobacz rysunek).
matura z matematyki

Przekątna $BH$ tego prostopadłościanu ma długość równą:

$4\sqrt{3}$

$6\sqrt{3}$

$12$

$12\sqrt{2}$

Zadanie 27. (1pkt) Długości trzech wychodzących z jednego wierzchołka krawędzi prostopadłościanu są trzema kolejnymi liczbami naturalnymi parzystymi. Najdłuższa krawędź tego prostopadłościanu ma długość $10$. Pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu jest równe:

$376$

$466$

$480$

$720$

Zadanie 28. (1pkt) Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra dziesiątek jest o $3$ większa od cyfry jedności, jest:

$3$

$6$

$7$

$13$

Zadanie 29. (1pkt) W tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez $32$ uczniów pewnej klasy za rozwiązanie jednego z zadań testu z matematyki.
matura z matematyki

Średnia arytmetyczna liczby punktów uzyskanych za rozwiązanie tego zadania przez uczniów tej klasy jest równa:

$2,5$

$3,25$

$3,31$

$4$

Zadanie 30. (2pkt) Rozwiąż nierówność $x(x+2)\le3$
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej.
Rozwiązywanie nierówności powinniśmy zacząć od przeniesienia wszystkich wyrazów na lewą stronę, wykonując przy okazji mnożenie z lewej strony, a całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$x(x+2)\le3 \\
x^2+2x-3\le0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: $a=1,\;b=2,\;c=-3$
$$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot(-3)=4-(-12)=4+12=16 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{16}=4$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2-4}{2\cdot1}=\frac{-6}{2}=-3 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2+4}{2\cdot1}=\frac{2}{2}=1$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik kierunkowy $a$ jest dodatni, więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe $x=-3$ oraz $x=1$ (kropki będą zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak $\le$) i rysujemy parabolę:
matura z matematyki

Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wyniki mniejsze lub równe zero, zatem interesuje nas to co znalazło się pod osią (wraz z zamalowanymi kropkami). To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest przedział:
$$x\in\langle-3;1\rangle$$

Zadanie 31. (2pkt) Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ takich, że $x\neq2y$, prawdziwa jest nierówność $x^2+4y^2-4\gt4(xy-1)$.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Kluczem do sukcesu będzie umiejętne przekształcenie podanej nierówności, a następnie "zwinięcie" zapisu z wykorzystaniem wzoru skróconego mnożenia $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. Całość będzie wyglądać następująco:
$$x^2+4y^2-4\gt4(xy-1) \\
x^2+4y^2-4\gt4xy-4 \\
x^2-4xy+4y^2\gt0 \\
(x-2y)^2\gt0$$

Z treści zadania wynika, że $x\neq2y$, więc wartość którą otrzymaliśmy w nawiasie jest na pewno różna od zera. Podnosząc dowolną liczbę rzeczywistą (różną od zera) do kwadratu, otrzymamy zawsze dodatni wynik, co należało właśnie udowodnić.

Zadanie 32. (2pkt) Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{\sqrt{3}}{3}x-3$. W układzie współrzędnych $(x,y)$ wykres funkcji $y=f(x)$ jest prostą, która jest nachylona do osi $Ox$ pod kątem ostrym $\alpha$ i przecina oś $Oy$ w punkcie $P$. Oblicz sinus kąta $\alpha$ oraz drugą współrzędną punktu $P$.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Krok 1. Ustalenie miary kąta $\alpha$.
W tym zadaniu trzeba było skorzystać z rzadko stosowanej własności wzorów funkcji liniowych. Współczynnik kierunkowy $a$ jest równy tangensowi kąta nachylenia prostej do osi $Ox$. Mówiąc wprost, z własności funkcji liniowych wynika, że:
$$tg\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że tangens przyjmuje taką wartość dla kąta o mierze $30°$.

Krok 2. Obliczenie wartości sinusa.
Celem zadania jest podanie sinusa naszego kąta, czyli w tym przypadku sinusa kąta $30°$. Z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że $sin30°$ jest równy $\frac{1}{2}$ i taka też będzie nasza odpowiedź.

Krok 3. Obliczenie drugiej współrzędnej punktu $P$.
Celem zadania jest obliczenie jeszcze drugiej współrzędnej punktu $P$ (szukamy tylko drugiej współrzędnej, bo skoro punkt $P$ jest miejscem przecięcia się z osią $Oy$ to wiadomo, że pierwsza współrzędna to $x=0$). Aby poznać tę współrzędną, wystarczy pamiętać, że ta druga współrzędna będzie równa współczynnikowi $b$ naszej funkcji liniowej, czyli od ręki moglibyśmy zapisać, że $y_{B}=-3$. Jeśli nie pamiętamy o tej własności, możemy podstawić po prostu $x=0$ do wzoru funkcji:
$$f(0)=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot0-3 \\
f(0)=-3$$

Zadanie 33. (2pkt) Ciąg $(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4})$ jest arytmetyczny. Suma pierwszego i drugiego wyrazu jest o $12$ większa od sumy trzeciego i czwartego wyrazu tego ciągu. Oblicz różnicę tego ciągu.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Z treści zadania wynika, że możemy ułożyć następujące równanie:
$$a_{1}+a_{2}=a_{3}+a_{4}+12$$

Korzystając teraz z własności ciągów arytmetycznych (lub po prostu ze wzoru na $n$-ty wyraz ciągu), możemy rozpisać nasze wyrazy w taki sposób, by zawsze odnosić się do wybranego wyrazu np. pierwszego. Przykładowo możemy rozpisać, że $a_{2}=a_{1}+r$ lub że $a_{4}=a_{1}+3r$. Otrzymamy wtedy taką oto sytuację:
$$a_{1}+a_{1}+r=a_{1}+2r+a_{1}+3r+12 \\
2a_{1}+r=2a_{1}+5r+12 \\
-4r=12 \\
r=-3$$

0pkt

1pkt

2pkt

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Krok 1. Dostrzeżenie trójkątów podobnych i ustalenie skali podobieństwa.
Powinniśmy dostrzec, że trójkąty $ABE$ oraz $DCE$ są trójkątami podobnymi na podstawie cechy kąt-kąt-kąt (mają one jednakowy kąt przy wierzchołku $E$ oraz są trójkątami prostokątnymi, więc i miara trzeciego kąta jest jednakowa). Wiemy, że analogiczne dwa boki mają długości odpowiednio: $12$ oraz $6$, więc jeśli przyjmiemy, że mniejszy trójkąt $DCE$ jest trójkątem podstawowym, a większy $ABE$ jest podobnym, to skala podobieństwa będzie równa:
$$k=\frac{12}{6} \\
k=2$$

Oczywiście moglibyśmy też przyjąć to podobieństwo na odwrót, co sprawiłoby, że $k=\frac{1}{2}$ i wtedy konsekwentnie trzeba byłoby właśnie tę skalę brać do dalszych obliczeń.

Krok 2. Obliczenie długości boku $AE$.
Ustaliliśmy już, że większy trójkąt ma boki $2$ razy większe od mniejszego. Jeśli więc oznaczylibyśmy bok $DE$ jako $x$, to bok $AE$ miałby długość $2x$. Z treści zadania wynika, że suma tych boków jest równa $24$, zatem:
$$x+2x=24 \\
3x=24 \\
x=8$$

Tym samym możemy stwierdzić, że $|DE|=8$ oraz $|AE|=2\cdot8=16$.

Krok 3. Obliczenie długości odcinka $BE$.
Spójrzmy na trójkąt $ABE$. Jest to trójkąt prostokątny, w którym znamy długości dwóch boków: $12$ oraz $16$. Poszukiwany bok $BE$ jest przeciwprostokątną tego trójkąta, zatem z pomocą przyjdzie nam twierdzenie Pitagorasa:
$$12^2+16^2=|BE|^2 \\
144+256=|BE|^2 \\
400=|BE|^2 \\
|BE|=20 \quad\lor\quad |BE|=-20$$

Długość boku musi być oczywiście dodatnia, zatem zostaje nam $|BE|=20$.

Zadanie 35. (2pkt) Dane są dwa zbiory: $C={0, 4, 5, 7, 9}$ oraz $D={1, 2, 3}$. Losujemy jedną liczbę ze zbioru $C$, a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru $D$. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie większa od $9$.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Losujemy jedną z pięciu liczb z pierwszego zbioru i jedną z trzech liczb drugiego wzoru, zatem zgodnie z regułą mnożenia wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć $|Ω|=5\cdot3=15$.

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Chcemy, by suma wylosowanych liczb była większa od $9$. Wypiszmy zatem pasujące pary liczb, które taką sumę dadzą. Nie będzie to trudne, bo wystarczy zauważyć, że z liczbami $0$, $4$ oraz $5$ nie utworzymy żadnej takiej pary.
$$(7,3); (9,1); (9,2); (9,3)$$

Są więc tylko $4$ takie pary, a to oznacza, że $|A|=4$.

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{4}{15}$$

Zadanie 36. (5pkt) W układzie współrzędnych $(x,y)$ przekątne równoległoboku $ABCD$ przecinają się w punkcie $S=(9,11)$. Bok $AB$ tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu $y=\frac{1}{2}x-1$, a bok $AD$ zawiera się w prostej o równaniu $y=2x-4$. Oblicz współrzędne wierzchołka $B$ oraz długość odcinka $BS$.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

3pkt

4pkt

5pkt

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie:

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy sobie przynajmniej szkic tej całej sytuacji, tak aby potem mieć lepszy obraz tego co trzeba będzie za chwilę policzyć. Sytuacja z treści zadania wygląda mniej więcej w ten sposób:
matura z matematyki

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu $A$.
Punkt A jest miejscem przecięcia się dwóch prostych podanych w treści zadania. Z geometrycznej interpretacji układu równań wynika, że poznamy współrzędne punkt $A$ w momencie, gdy rozwiążemy następujący układ równań:
\begin{cases}
y=\frac{1}{2}x-1 \\
y=2x-4
\end{cases}

Korzystając z metody podstawiania, otrzymamy następujące równanie:
$$\frac{1}{2}x-1=2x-4 \\
-1,5x-1=-4 \\
-1,5x=-3 \\
x=2$$

Znamy już pierwszą współrzędną punktu $A$. Aby poznać drugą współrzędną, wystarczy podstawić obliczone przed chwilą $x=2$ do jednego z równań z układu, np. do drugiego:
$$y=2\cdot2-4 \\
y=4-4 \\
y=0$$

To oznacza, że $A=(2;0)$.

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych punktu $C$.
Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie swojej długości, więc punkt $S$ jest środkiem przekątnej $AC$. Znamy współrzędne punktu $A$, znamy też współrzędne środka $S$, więc z poznaniem współrzędnych punktu $C$ pomoże nam wzór na środek odcinka:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{C}}{2};\frac{y_{A}+y_{C}}{2}\right)$$

Znając współrzędne obydwu punktów wystarczy podstawić te dane do wzoru. Dla przejrzystości obliczeń dobrze jest obliczyć sobie oddzielnie współrzędną iksową i igrekową:
$$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2} \\
9=\frac{2+x_{C}}{2} \\
18=2+x_{C} \\
x_{C}=16 \\
\quad \\
y_{S}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2} \\
11=\frac{0+y_{C}}{2} \\
y_{C}=22$$

To oznacza, że $C=(16;22)$.

Krok 4. Wyznaczenie równania prostej $BC$.
Prosta $BC$ będzie prostą równoległą do $AD$, która będzie przechodzić przez wyznaczony przed chwilą punkt $C$. Dwie proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy mają jednakowy współczynnik kierunkowy $a$. Skoro prosta $AD$ wyraża się równaniem $y=2x-4$ to prosta $BC$ będzie wyrażać się równaniem $y=2x+b$. Brakujący współczynnik $b$ poznamy podstawiając do tego wyrażenia współrzędne punktu $C=(16;22)$, zatem:
$$22=2\cdot16+b \\
22=32+b \\
b=-10$$

Tym samym prosta $BC$ wyraża się równaniem $y=2x-10$.

Krok 5. Wyznaczenie współrzędnych punktu $B$.
Punkt B będzie miejscem przecięcia się prostej $AB$ oraz wyznaczonej przed chwilą prostej $BC$. Musimy więc postąpić podobnie jak przy wyznaczeniu współrzędnych punktu $A$, czyli rozwiązać następujący układ równań:
\begin{cases}
y=\frac{1}{2}x-1 \\
y=2x-10
\end{cases}

Korzystając z metody podstawiania, otrzymamy:
$$\frac{1}{2}x-1=2x-10 \\
-1,5x-1=-10 \\
-1,5x=-9 \\
x=6$$

Aby poznać drugą współrzędną punktu $B$, wystarczy podstawić $x=6$ do jednego z równań z układu, np. drugiego:
$$y=2\cdot6-10 \\
y=12-10 \\
y=2$$

Tym samym możemy stwierdzić, że $B=(6;2)$.

Krok 6. Obliczenie długości odcinka $BS$.
Na sam koniec musimy jeszcze obliczyć długość odcinka $BS$. Znamy współrzędne obydwu punktów $B=(6;2)$ oraz $S=(9;11)$, więc z pomocą przyjdzie nam wzór na długość odcinka:
$$|BS|=\sqrt{(x_{S}-x_{B})^2+(y_{S}-y_{B})^2} \\
|BS|=\sqrt{(9-6)^2+(11-2)^2} \\
|BS|=\sqrt{3^2+9^2} \\
|BS|=\sqrt{9+81} \\
|BS|=\sqrt{90} \\
|BS|=\sqrt{9\cdot10} \\
|BS|=3\sqrt{10}$$

Zdobyłeś/aś: 0/46pkt

Zobacz swój test

Popraw test