Test

Zadanie 1. (1pkt) Liczba \(\dfrac{25^{-2}}{125^{-4}}\) jest równa:

Zadanie 2. (1pkt) Liczba \(\sqrt[3]{24}+\sqrt[3]{192}\) jest równa:

Zadanie 3. (1pkt) Liczba \(log_{3}2-log_{3}18\) jest równa:

Zadanie 4. (1pkt) Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) wartość wyrażenia \((3x+y)^{2}-(3x-y)^{2}\) jest równa wartości wyrażenia:

Zadanie 5. (1pkt) Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(3-x>\frac{5x-1}{2}\) jest przedział:

Zadanie 6. (1pkt) Suma wszystkich rozwiązań równania \((3x-12)(10+5x)(x-3)=0\) jest równa

Zadanie 7. (1pkt) Miejscem zerowym funkcji liniowej \(g\) jest liczba \(-3\). Dla argumentu \(0\) funkcja \(g\) przyjmuje wartość \(-\frac{3}{2}\). Funkcja \(g\) jest określona wzorem

Zadanie 8. (1pkt) Na rysunku, w układzie współrzędnych \((x,y)\), przedstawiono wykres funkcji \(f\).


Wartość wyrażenia \(f(-2)+3\cdot f(2)\) jest równa

Zadanie 9. (1pkt) Na rysunku, w układzie współrzędnych \((x,y)\), przedstawiono wykres funkcji \(f\).


Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział

Zadanie 10. (1pkt) Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{1}{2}x^{2}+bx+c,\) gdzie \(b\) oraz \(c\) są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji \(f\) jest liczba \(6\). W układzie współrzędnych \((x, y)\) prosta o równaniu \(x=1\) jest osią symetrii wykresu funkcji \(f\). Współczynnik \(b\) jest równy:

Zadanie 11. (1pkt) Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{1}{2}x^{2}+bx+c,\) gdzie \(b\) oraz \(c\) są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji \(f\) jest liczba \(6\). W układzie współrzędnych \((x, y)\) prosta o równaniu \(x=1\) jest osią symetrii wykresu funkcji \(f\). Funkcja \(f\) jest określona wzorem

Zadanie 12. (1pkt) Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{1}{2}x^{2}+bx+c,\) gdzie \(b\) oraz \(c\) są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji \(f\) jest liczba \(6\). W układzie współrzędnych \((x, y)\) prosta o równaniu \(x=1\) jest osią symetrii wykresu funkcji \(f\). Funkcja \(g\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wzorem \(g(x)=f(x-3)\). Osią symetrii wykresu funkcji \(g\) jest prosta o równaniu

Zadanie 13. (1pkt) Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). Różnica tego ciągu jest równa \(-4\) oraz \(a_{10} = -24\). Szósty wyraz ciągu \((a_n)\) jest równy

Zadanie 14. (1pkt) Ciąg geometryczny \((a_n)\), o wszystkich wyrazach rzeczywistych różnych od \(0\), jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). Wyrazy tego ciągu spełniają warunek \(a_3 = -8 \cdot a_6\). Iloraz ciągu \((a_n)\) jest równy

Zadanie 15. (1pkt) Kąt \(\alpha\) jest ostry oraz \(cos\alpha=\frac{5}{13}\). Tangens kąta \(\alpha\) jest równy

Zadanie 16. (1pkt) Liczba \(sin 30° \cdot cos 60° + sin 60° \cdot cos 30°\) jest równa

Zadanie 17. (1pkt) Punkty \(A\), \(B\), \(C\) oraz \(D\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(S\) i o promieniu \(36\). Punkt \(S\) leży na odcinku \(BD\). Kąt \(BDA\) ma miarę \(40°\), a kąt \(DBC\) ma miarę \(65°\) (zobacz rysunek).


Miara kąta ostrego \(BSA\) jest równa

Zadanie 18. (1pkt) Punkty \(A\), \(B\), \(C\) oraz \(D\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(S\) i o promieniu \(36\). Punkt \(S\) leży na odcinku \(BD\). Kąt \(BDA\) ma miarę \(40°\), a kąt \(DBC\) ma miarę \(65°\) (zobacz rysunek).


Długość łuku \(BC\), na którym jest oparty kąt wpisany \(CDB\), jest równa

Zadanie 19. (1pkt) Dany jest trapez \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) takich, że \(|AB| = 2 \cdot |CD|\). Przekątne \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(E\) (zobacz rysunek).


Pole trójkąta \(CDE\) jest równe \(2\), a pole trójkąta \(BCE\) jest równe \(4\). Pole trójkąta \(AED\) jest równe

Zadanie 20. (1pkt) Dany jest trapez \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) takich, że \(|AB| = 2 \cdot |CD|\). Przekątne \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(E\) (zobacz rysunek).


Pole trójkąta \(CDE\) jest równe \(2\), a pole trójkąta \(BCE\) jest równe \(4\). Pole trójkąta \(ABE\) jest równe

Zadanie 21. (1pkt) Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|AB| = 6\), \(|AC| = 4\) oraz \(|\sphericalangle CAB| = 60°\) (zobacz rysunek).


Pole trójkąta \(ABC\) jest równe

Zadanie 22. (1pkt) W układzie współrzędnych \((x, y)\) proste \(k\) oraz \(l\) są określone równaniami
\(k: y = (3 - m)x + 5\)
\(l: y = (m + 3)x - 4\)
Proste \(k\) oraz \(l\) są równoległe, gdy liczba \(m\) jest równa

Zadanie 23. (1pkt) Każda ściana boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest trójkątem równobocznym o boku długości \(8\). Wysokość tego ostrosłupa jest równa

Zadanie 24. (1pkt) Objętość walca o promieniu podstawy \(2\) jest równa \(16\pi^2\). Wysokość tego walca jest równa

Zadanie 25. (1pkt) Wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych większych od \(500\), w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry nieparzyste, jest

Zadanie 26. (2pkt) Rozwiąż nierówność \(-3x^2\gt6x-9\)
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

Zadanie 27. (2pkt) Wykaż, że liczba \(8^{50} - 2^{145}\) jest podzielna przez \(31\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

Zadanie 28. (2pkt) Rozwiąż równanie \(\frac{3}{3x-7}=\frac{5x}{x-8}\), gdzie \(x \neq \frac{7}{3}\) i \(x \neq 8\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

Zadanie 29. (2pkt) Właściciel restauracji kupił \(75\) kilogramów pomidorów: \(x\) kg pomidorów malinowych w cenie \(11\) złotych za kilogram oraz \(y\) kg pomidorów cherry w cenie \(7,98\) złotych za kilogram. Za pomidory zapłacił łącznie \(752,52\) złotych.
Oblicz, ile kilogramów pomidorów malinowych kupił właściciel restauracji.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

Zadanie 30. (2pkt) W stacji diagnostycznej odnotowywano liczby usterek wykrytych podczas przeglądów technicznych pięcioletnich samochodów w lipcu \(2025\) roku. Wszystkie odnotowane wyniki przedstawiono na poniższym diagramie.
Na osi poziomej podano liczbę usterek, które zostały wykryte podczas przeglądów, a na osi pionowej podano liczbę samochodów, w których wykryto daną liczbę usterek.


Oblicz średnią arytmetyczną oraz medianę liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

Zadanie 31. (2pkt) Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Zapisujemy kolejno liczby wyrzuconych oczek i w ten sposób otrzymujemy liczbę dwucyfrową, przy czym pierwsza wyrzucona liczba oczek jest cyfrą dziesiątek, a druga – cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa będzie nieparzysta i podzielna przez \(3\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

Zadanie 32. (4pkt) Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=\frac{32\cdot (-1)^n}{2^{n-1}}\) dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). Trzywyrazowy ciąg \((x, a_6, 2x + 10)\), gdzie \(x\) jest liczbą rzeczywistą, jest arytmetyczny.
Oblicz \(x\) oraz różnicę tego ciągu arytmetycznego.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

Zadanie 33. (4pkt) Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny \(ABCDEF\). Wysokość podstawy \(ABC\) jest równa \(2\sqrt{3}\). Przekątna \(AE\) ściany bocznej \(ABED\) tworzy z krawędzią \(AB\) kąt o mierze \(60°\) (zobacz rysunek).


Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

Zadanie 34. (5pkt) W układzie współrzędnych \((x, y)\) dane są punkty \(A = (-4, 7)\) oraz \(B = (12, 3)\). Prosta \(AB\) przecina oś \(Ox\) w punkcie \(C\). Symetralna odcinka \(AB\) przecina oś \(Ox\) w punkcie \(D\).
Oblicz współrzędne punktów \(C\) i \(D\) oraz pole trójkąta \(ACD\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją