Test

Liczbę \(a\) moglibyśmy zapisać jako \(5x+1\), z kolei liczbę \(b\) jako \(5y+4\) (gdzie \(x\) oraz \(y\) są liczbami całkowitymi). Podstawiając teraz te wyrażenia do zapisu \(a^2-b^2\) i korzystając tutaj ze wzorów skróconego mnożenia, otrzymamy:
$$(5x+1)^2-(5y+4)^2= \\
=25x^2+10x+1-(25y^2+40y+16)= \\
=25x^2+10x+1-25y^2-40y-16= \\
=25x^2+10x-25y^2-40y-15= \\
=5\cdot(5x^2+2x-5y^2-8y-3)$$

Wartość w nawiasie jest na pewno liczbą całkowitą, a piątka wyciągnięta przed nawias oznacza, że całe wyrażenie na pewno będzie podzielne przez \(5\), co należało udowodnić.

Krok 1. Zapisanie równań.
Oznaczmy liczbę drzew w pierwszym sadzie jako \(x\) oraz w drugim sadzie jako \(y\). Z treści zadania wiemy, że łącznie jest to \(1410\) drzew, zatem moglibyśmy zapisać, że:
$$x+y=1410$$

Na podstawie informacji o uschniętych drzewach możemy też ułożyć drugie równanie:
$$0,85y=0,7\cdot0,8x \\
0,85y=0,56x$$

Krok 2. Budowa i rozwiązanie układu równań.
Z tych dwóch równań możemy ułożyć następujący układ równań:
\begin{cases}
x+y=1410 \\
0,85y=0,56x
\end{cases}

Układ możemy rozwiązać na różne sposoby, ale najprościej będzie chyba zastosować tutaj metodę podstawiania, ponieważ z pierwszego równania wprost wynika, że \(y=1410-x\). Podstawiając to wyrażenie do drugiego równania, otrzymamy:
$$0,85\cdot(1410-x)=0,56x \\
1198,5-0,85x=0,56x \\
1198,5=1,41x \\
x=850$$

Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej.
Zanim zaczniemy liczyć deltę, to musimy przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę, doprowadzając nierówność do postaci ogólnej, zatem:
$$x(x+4)\lt x-2 \\
x^2+4x\lt x-2 \\
x^2+3x+2\lt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=1,\;b=3,\;c=2\)
$$Δ=b^2-4ac=3^2-4\cdot1\cdot2=9-8=1 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3-1}{2\cdot1}=\frac{-4}{2}=-2 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3+1}{2\cdot1}=\frac{-2}{2}=-1$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=-2\) oraz \(x=-1\) (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\lt\)) i rysujemy parabolę:


Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wyniki mniejsze od zera, zatem interesuje nas to co znalazło się pod osią. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest przedział:
$$x\in(-2;-1)$$

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Dziedzinę funkcji odczytujemy z osi \(Ox\). Widzimy, że funkcja przyjmuje swoje wartości od argumentu \(x=-5\) (kropka niezamalowana), aż do argumentu \(x=3\) (kropka zamalowana). Stąd też dziedziną funkcji będzie przedział \((-5,3]\).

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Zbiór wartości odczytujemy z osi \(Oy\). Widzimy, że funkcja przyjmuje wartości od \(0\) aż do \(3\). Stąd też zbiorem wartości funkcji będzie przedział \([0,3]\).

Krok 3. Rozwiązanie trzeciej części zadania.
Miejsca zerowe to takie argumenty \(x\) dla których funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). Mówiąc bardziej obrazowo, szukamy na wykresie miejsc, gdzie wykres pokrywa się z osią \(Ox\) i widzimy, że dzieje się tak dla przedziału \([-2,1]\).

Krok 4. Rozwiązanie czwartej części zadania.
Celem zadania jest sprawdzenie kiedy funkcja przyjmuje wartości mniejsze od \(-3\). Widzimy, że dzieje się tak dla argumentów od \(-3\) aż do \(1\) włącznie. Rozwiązaniem tej nierówności będzie w takim razie przedział \((-3,1]\).

Krok 1. Wyznaczenie drugiego miejsca zerowego.
Jedną z własności parabol jest fakt, iż miejsca zerowe są oddalone o jednakową odległość od osi symetrii. Wiemy, że osią symetrii jest prosta o równaniu \(x=-1\), a więc pierwsze miejsce zerowe \(x=1\) jest oddalone o \(2\) jednostki w prawo. W takim razie drugie miejsce zerowe będzie oddalone o dwie jednostki w lewo, czyli tym samym będzie to \(x=-3\).


Krok 2. Zapisanie wzoru w postaci iloczynowej.
Znając miejsca zerowe, możemy przystąpić do zapisania wzoru funkcji w postaci iloczynowej:
$$f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2}) \\
f(x)=a(x-1)(x-(-3)) \\
f(x)=a(x-1)(x+3)$$

Do pełnego wzoru brakuje nam jeszcze współczynnika kierunkowego \(a\). Poznamy go podstawiając współrzędne punktu, przez który przechodzi wykres tej funkcji, czyli \((2,15)\). W takim razie:
$$15=a\cdot(2-1)\cdot(2+3) \\
15=a\cdot1\cdot5 \\
15=5a \\
a=3$$

Tym samym nasza funkcja będzie się wyrażać wzorem:
$$f(x)=3(x-1)(x+3)$$

Krok 3. Wyznaczenie wierzchołka paraboli.
Do zapisania postaci kanonicznej będziemy potrzebować współrzędnych wierzchołka paraboli \(W=(p,q)\). Tutaj od razu możemy stwierdzić, że pierwsza współrzędna musi pokrywać się z osią symetrii, ponieważ ta oś zawsze przechodzi przez wierzchołek, a więc od razu możemy zapisać, że \(p=-1\). Chcąc poznać współrzędną \(q\), wystarczy podstawić teraz \(x=-1\) do wzoru naszej funkcji, zatem:
$$f(-1)=3\cdot(-1-1)\cdot(-1+3) \\
f(-1)=3\cdot(-2)\cdot2 \\
f(-1)=-12$$

Tym samym możemy stwierdzić, że \(W=(-1,-12)\).

Krok 4. Zapisanie wzoru w postaci kanonicznej.
Postać kanoniczną zapisujemy jako:
$$f(x)=a(x-p)^2+q$$

Znając współrzędne wierzchołka paraboli i wiedząc, że \(a=3\), możemy przystąpić do zapisania wzoru w postaci kanonicznej:
$$f(x)=3(x-(-1))^2+(-12) \\
f(x)=3(x+1)^2-12$$

Dwie proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy mają jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). Skoro prosta \(k\) ma ten współczynnik równy \(5\), to i prosta \(l\) będzie mieć współczynnik \(a=5\). Tym samym moglibyśmy zapisać prosta \(l\) będzie wyrażać się równaniem \(y=5x+b\).

Wiemy też, że prosta \(l\) przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-4)\). Z własności funkcji liniowych możemy już wywnioskować, że w takim razie współczynnik \(b=-4\). Do tej samej wiadomości doszlibyśmy oczywiście podstawiając \(x=0\) oraz \(y=-4\) do wyznaczonego przed chwilą równania:
$$-4=5\cdot0+b \\
-4=0+b \\
b=-4$$

To oznacza, że nasza prosta \(l\) wyraża się równaniem \(y=5x-4\).

Skoro punkt o współrzędnych \((p,2)\) należy do prostej \(l\) to możemy pod współrzędną \(x\) podstawić \(p\) oraz pod współrzędną \(y\) podstawić \(2\). Otrzymamy wtedy:
$$2=5\cdot p-4 \\
6=5p \\
p=\frac{6}{5}$$

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Skoro długości krawędzi prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny o ilorazie \(q=4\), to moglibyśmy zapisać, że długości krawędzi wyglądają następująco:
Pierwsza krawedź: \(x\)
Druga krawedź: \(4x\)
Trzecia krawedź: \(16x\)

Krok 2. Obliczenie długości krawędzi prostopadłościanu.
Pole powierzchni całkowitej obliczamy ze wzoru:
$$P_{c}=2ab+2ac+2bc$$

Wiemy, że pole powierzchni całkowitej jest równe \(94,5\), zatem podstawiając znane nam dane, otrzymamy:
$$2\cdot x\cdot4x+2\cdot x\cdot16x+2\cdot4x\cdot16x=94,5 \\
8x^2+32x^2+128x^2=94,5 \\
168x^2=94,5 \\
x^2=0,5625 \\
x=0,75 \quad\lor\quad x=-0,75$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, ponieważ długość krawędzi musi być dodatnia, zatem zostaje nam \(x=0,75\).

Tym samym możemy stwierdzić, że pierwsza krawędź prostopadłościanu ma długość \(0,75\), druga ma \(4\cdot0,75=3\), a trzecia ma \(16\cdot0,75=12\).

Krok 3. Obliczenie objętości prostopadłościanu.
Znając długości wszystkich trzech krawędzi prostopadłościanu, możemy już bez problemu obliczyć objętość tej bryły:
$$V=abc \\
V=0,75\cdot3\cdot12 \\
V=27$$

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
W pierwszym zbiorze mamy \(6\) liczb, natomiast w drugim \(4\). Losujemy jedną liczbę z pierwszego zbioru i jedną z drugiego, a to oznacza, że wszystkich zdarzeń elementarnych zgodnie z regułą mnożenia będziemy mieć \(|Ω|=6\cdot4=24\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest wybór takiej pary liczb, której iloczyn da liczbę dodatnią lub równą \(0\). Moglibyśmy oczywiście zacząć wypisywać takie pary, ale wystarczy zauważyć, że taki iloczyn powstanie wtedy, gdy pomnożymy przez siebie dwie liczby ujemne, dwie liczby dodatnie, albo dowolną liczbę przez \(0\). Rozpiszmy więc ile jest takich poszczególnych możliwości.

Obydwie liczby ujemne:
W pierwszym zbiorze mamy \(3\) liczby ujemne, a w drugim mamy \(2\) takie liczby, zatem zgodnie z regułą mnożenia interesujących nas par będziemy mieć:
$$3\cdot2=6$$

Obydwie liczby dodatnie:
W pierwszym zbiorze mamy \(2\) liczby dodatnie, a w drugim mamy \(1\) taką liczbę, zatem zgodnie z regułą mnożenia interesujących nas par będziemy mieć:
$$2\cdot1=2$$

Liczba \(0\) z pierwszego zbioru i dowolna ze zbioru drugiego:
Pasującą parą będzie także sytuacja, gdy z pierwszego zbioru losujemy \(0\), a z drugiego mamy dowolną liczbę, zatem:
$$1\cdot4=4$$

Dowolna liczba z pierwszego zbioru (różna od zera) i \(0\) z drugiego zbioru:
I analogicznie, możemy mieć dowolną liczbę z pierwszego (oprócz zera, bo już wcześniej rozpisywaliśmy warianty z zerem) i \(0\) z drugiego zbioru, zatem:
$$5\cdot1=5$$

Teraz zgodnie z regułą dodawania możemy stwierdzić, że interesujących nas par mamy \(|A|=6+2+4+5=17\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{17}{24}$$

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Na początek obliczmy średnią arytmetyczną podanego zestawu:
$$śr=\frac{4\cdot0+2\cdot1+5\cdot2+5\cdot3+11\cdot4+5\cdot5}{4+2+5+5+11+5} \\
śr=\frac{0+2+10+15+44+25}{32} \\
śr=\frac{96}{32} \\
śr=3$$

Wynik poniżej średniej to \(0\), \(1\) lub \(2\) punkty, a taki uzyskało łącznie \(4+2+5=11\) osób.

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Skoro mamy \(32\) uczniów (czyli parzystą liczbę osób), to mediana będzie równa średniej arytmetycznej wartości wyrazu numer \(16\) i \(17\) w uporządkowanym zestawie zdobytych punktów. Moglibyśmy oczywiście wypisać cały zestaw jako \(0,0,0,0,1,1...\) i sprawdzić jaka będzie \(16.\) i \(17.\) wartość, ale można też podejść do tego wszystkiego nieco sprytniej. Widzimy, że \(16\) osób otrzymało wynik od \(0\) do \(3\) punktów, przy czym właśnie ta \(16.\) osoba ma \(3\) punkty. Z kolei \(17.\) wynik to będą już \(4\) punkty. W związku z tym mediana będzie równa:
$$m=\frac{3+4}{2} \\
m=\frac{7}{2} \\
m=3,5$$

Krok 3. Rozwiązanie trzeciej części zadania.
Dominanta to najczęściej otrzymywana wartość. Tutaj widzimy, że najwięcej osób (bo aż \(11\)) otrzymało \(4\) punkty, stąd też dominanta będzie równa \(4\).