Test

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz średni roczny przyrost sosny (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie obliczysz średni roczny przyrost, ale konsekwentnie do tego błędu obliczysz błąd względny (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie średniego rocznego przyrostu.
Średni przyrost obliczymy dokładnie tak jak zwykłą średnią arytmetyczną. Pamiętaj o tym, by na końcu zaokrąglić wynik do \(1cm\).
$$\overline{x}=\frac{10+10+7+8+8+7}{6}=\frac{50}{6}=8\frac{1}{3}\approx8[cm]$$

Krok 2. Obliczenie błędu względnego otrzymanego przybliżenia.
Błąd względny naszego przybliżenia z pierwszego kroku obliczymy w następujący sposób:
$$δ=\frac{|x-x_{0}|}{x}$$

\(δ\) - błąd względny pomiaru
\(x\) - dokładna wartość, czyli \(x=8\frac{1}{3}\)
\(x_{0}\) - przybliżona wartość, czyli \(x_{0}=8\)

Musimy ten błąd wyrazić w procentach, dlatego pomnożymy sobie wszystko przez \(100\%\). Podstawiając odpowiednie dane otrzymamy:
$$δ=\frac{|8\frac{1}{3}-8|}{8\frac{1}{3}}\cdot100\% \\
δ=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{25}{3}}\cdot100\% \\
δ=\frac{1}{25}\cdot100\% \\
δ=4\%$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Krok 1. Przeniesienie wyrazów na lewą stronę i uproszczenie nierówności.
Aby móc rozwiązać nierówność kwadratową za pomocą np. metodą delty musimy doprowadzić ją do ogólnej postaci typu \(ax^2+bx+c\), gdzie po prawej stronie takiej nierówności znajdzie się liczba \(0\). Krótko mówiąc - musimy przenieść wartość z prawej strony nierówności na lewą. Bardzo często o tym zapominamy, bo zazwyczaj na maturze nierówności są zapisane już w pożądanej postaci. Zatem:
$$2x^2-4x\gt3x^2-6x \\
2x^2-4x-3x^2+6x\gt0 \\
-x^2+2x\gt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych powstałej nierówności.
Miejsca zerowe naszej nierówności możemy obliczyć za pomocą metody delty. Trzeba tylko pamiętać, że w tym przypadku współczynnik \(c=0\). Jednak ta nierówność jest na tyle prosta, że przy wyznaczaniu miejsc zerowych możemy posłużyć się postacią iloczynową, wtedy:
$$-x^2+2x=0 \\
-x(x-2)=0 \\
-x=0 \quad\lor\quad x-2=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x=2$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Nasza parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu, bo przed \(x^2\) stoi znak minusa. Po naniesieniu miejsc zerowych wyliczonych w drugim kroku otrzymamy:



Kropki przy \(x=0\) oraz \(x=2\) muszą być niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\).

Teraz musimy odczytać z wykresu dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie (czyli kiedy wykres jest nad osią). Widzimy wyraźnie, że wartości dodatnie funkcja przyjmuje dla \(x\in(0;2)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy rozbijesz zapis na dwa równania \(4-x=0\) oraz \(x^2+2x-15=0\).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że tylko jedno z rozwiązań.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Zapisanie odpowiednich równań.
Aby równanie dało wynik równy zero, to "wyzerować" je musi albo pierwszy, albo drugi nawias. To oznacza, że:
$$4-x=0 \quad\lor\quad x^2+2x-15=0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałych równań.
Powstały nam dwie równania, które musimy rozwiązać. Pierwsze równanie jest proste:
$$4-x=0 \\
x=4$$

Aby rozwiązać drugie równanie posłużymy się tzw. metodą delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=2,\;c=-15\)
$$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot(-15)=4-(-60)=4+60=64 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{64}=8$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2-8}{2\cdot1}=\frac{-10}{2}=-5 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2+8}{2\cdot1}=\frac{6}{2}=3$$

Rozwiązaniami naszego całego równania są więc trzy liczby: \(x=-5 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=4\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz przynajmniej jedną parę równych sobie kątów ostrych.
ALBO
• Gdy zapiszesz, że na rysunku są tak naprawdę aż trzy trójkąty podobne: \(ABC\), \(GBF\) oraz \(DEC\), ale nie udowodnisz tego korzystając z jakiejkolwiek cechy podobieństwa.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Rozpatrzmy najpierw trójkąty \(ABC\) oraz \(FBG\). Oba są prostokątne i mają wspólny kąt \(\sphericalangle GBF\). Możemy sobie ten kąt oznaczyć jako \(α\) (patrz: rysunek). Skoro te dwie miary kątów w tych trójkątach (kąt prosty oraz kąt \(α\)) są jednakowe, to znaczy że także trzeci kąt ma jednakową miarę, czyli możemy zapisać, że \(|\sphericalangle GFB|=|\sphericalangle ACB|=β\). Mamy więc w tym momencie następującą sytuację:



To teraz spójrzmy na trójkąt \(CDE\). Znamy już dwie miary kątów w tym trójkącie, są one dokładnie takie same jak w trójkącie \(FBG\), a więc i trzeci kąt musi być jednakowy, nie ma innej możliwości. Dzięki temu wiemy, że na pewno także \(|\sphericalangle CDE|=α\). To w zasadzie kończy nasze dowodzenie, bo udowodniliśmy, że trójkąty te są podobne na podstawie cechy podobieństwa kąt-kąt-kąt.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz wzór na sumę dwóch kolejnych wyrazów ciągu: \(S=2n^2+2n+2(n+1)^2+2(n+1)\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Zapisanie sumy dwóch kolejnych wyrazów ciągu.
Jeżeli pierwszy wyraz ciągu zapiszemy jako \(a_{n}\), to drugim wyrazem będzie \(a_{n+1}\). Wartość \(a_{n}\) jest podana w treści zadania, natomiast \(a_{n+1}\) obliczymy podstawiając \(n+1\) w miejsce \(n\). W związku z tym:
$$S=a_{n}+a_{n+1} \\
S=2n^2+2n+2(n+1)^2+2(n+1) \\
S=2n^2+2n+2(n^2+2n+1)+2n+2 \\
S=2n^2+2n+2n^2+4n+2+2n+2 \\
S=4n^2+8n+4$$

Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Aby móc udowodnić tezę zawartą w zadaniu musimy przedstawić ten wynik w formie jakiejś potęgi. Z pomocą przychodzą nam wzory skróconego mnożenia, a konkretnie na potęgę sumy: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Zgodnie z tym wzorem:
$$S=4n^2+8n+4=(2n+2)^2$$

\(2n+2\) jest zawsze liczbą naturalną, bo z definicji ciągów wiemy, że \(n\in N\), a liczba naturalna pomnożona przez \(2\) i powiększona o \(2\) dalej jest liczbą naturalną. To oznacza, że dowód został zakończony.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz że \(A=10^{6,2}\cdot10^{-4}\) (patrz: Krok 2.) lub analogicznie \(10^{6,2}=\frac{A}{10^{-4}}\).
ALBO
• Gdy korzystając z własności logarytmów zapiszesz, że \(6,2=log A-log10^{-4}\) lub \(6,2=log A+log10^{4}\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Zapisanie wzoru na amplitudę z pominięciem logarytmu.
Największą trudnością w tym zadaniu jest chyba pozbycie się z zapisu tego logarytmu. Musisz pamiętać, że skoro logarytm nie ma zapisanej podstawy to znaczy że jest ona równa \(10\) (czyli jest to tak naprawdę \(\log_{10}\)). Rozwiązaniem naszego logarytmu jest liczba \(R\) (czyli stopień w skali Richtera), a to oznacza, że zgodnie z definicją logarytmu:
$$log_{a}b=c \Longleftrightarrow a^c=b \\
\text{zatem:} \\
log_{10}\frac{A}{A_{0}}=R \Longleftrightarrow 10^R=\frac{A}{A_{0}}$$

Krok 2. Obliczenie amplitudy trzęsienia ziemi.
Wystarczy już tylko podstawić dane z treści zadania do naszego wzoru i tym samym wyliczyć pożądaną wartość amplitudy, wykonując poprawnie działania na potęgach:
$$10^R=\frac{A}{A_{0}} \\
10^R\cdot A_{0}=A \\
10^{6,2}\cdot10^{-4}=A \\
A=10^{6,2+(-4)} \\
A=10^{2,2}[cm]$$

Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Musimy teraz oszacować, czy otrzymana amplituda jest większa, czy mniejsza niż \(100cm\). Skoro \(100=10^2\), a my w naszych obliczeniach otrzymaliśmy \(10^{2,2}\), to z całą pewnością amplituda jest większa niż \(100cm\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz miary trzech kątów z użyciem jednej niewiadomej np. \(α,\;3α,\;α+50°\) lub nawet \(α-50°,\;a,\;3\cdot(α-50°)\).
2 pkt
• Gdy zapiszesz równanie z jedną niewiadomą np. \(α+3α+α+50°=180°\).
3 pkt
• Gdy obliczysz jedną z trzech miar kątów tego trójkąta.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Jeśli przyjmiemy, że najmniejszy kąt ma miarę równą \(α\), to wtedy dwa kolejne kąty opiszemy jako \(3α\) oraz \(α+50°\). Skoro suma kątów w trójkącie jest równa \(180°\), to otrzymamy:
$$α+3α+α+50°=180° \\
5α=130° \\
α=26°$$

Kąty w tym trójkącie mają więc miarę: \(26°\), \(3\cdot26=78°\) oraz \(26+50=76°\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie pozwalające obliczyć długość krawędzi podstawy ostrosłupa np. \(\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=27\) (patrz: Krok 2.)
ALBO
• Gdy zapiszesz równanie pozwalające obliczyć wysokość ostrosłupa np. \(\frac{1}{3}\cdot\frac{\left(\frac{2H}{\sqrt{3}}\right)^2\cdot\sqrt{3}}{4}\cdot H=27\)
2 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy \(a=6\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa \(H=3\sqrt{3}\) (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz długość ściany bocznej ostrosłupa \(|DS|=\sqrt{30}\) (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy obliczysz długość krawędzi bocznej ostrosłupa \(|SB|=\sqrt{39}\).
4 pkt
• Gdy obliczysz pole powierzchni bocznej ostrosłupa \(P_{b}=9\sqrt{30}\) (patrz: Krok 5.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz cosinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy: \(cosα=\frac{\sqrt{10}}{10}\) (patrz: Krok 6.).
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



W podstawie ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest zawsze trójkąt równoboczny (co zresztą jest jeszcze potwierdzone w treści zadania), więc każdą długość jego krawędzi podstawy oznaczmy sobie jako niewiadomą \(a\).

Krok 2. Obliczenie długości krawędzi podstawy ze wzoru na objętość.
Wzór na objętość ostrosłupa to \(V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H\). Potrzebujemy więc znać pole podstawy i wysokość bryły.

a) Pole powierzchni trójkąta równobocznego (będącego podstawą bryły) możemy zapisać jako \(P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\).
b) Wysokość ostrosłupa jest zgodnie z treścią zadania równa wysokości trójkąta równobocznego znajdującego się w podstawie. Wzór na wysokość trójkąta równobocznego też jest nam znany, stąd \(H=h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).
c) Objętość mamy podaną w treści zadania i jest ona równa \(27\).

Podstawiając te wszystkie informacje do wzoru na objętość otrzymamy:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H \\
27=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
27=\frac{a^3\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{24} \\
27=\frac{3a^3}{24} \\
27=\frac{a^3}{8} \\
a^3=27\cdot8 \\
a^3=216 \\
a=6$$

Krok 3. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Znając już wartość długości krawędzi podstawy możemy zapisać wysokość ostrosłupa (i tym samym wysokość trójkąta równobocznego znajdującego się w podstawie) w formie konkretnej liczby:
$$H=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
H=\frac{6\sqrt{3}}{2} \\
H=3\sqrt{3}$$

Krok 4. Obliczenie wysokości ściany bocznej, czyli odcinka \(|DS|\).
Aby obliczyć pole powierzchni ściany bocznej ostrosłupa (bo o nią proszą nas w zadaniu) potrzebujemy znać długość podstawy (tą już mamy wyliczoną) oraz wysokość ściany bocznej - i to właśnie ją teraz sobie policzymy.

Do wyznaczenia wysokości ściany bocznej posłużymy się trójkątem prostokątnym \(DOS\). Odcinek \(DO\) zgodnie z własnościami trójkąta równobocznego stanowi \(\frac{1}{3}\) długości wysokości trójkąta, czyli:
$$|DO|=\frac{1}{3}h \\
|DO|=\frac{1}{3}\cdot3\sqrt{3} \\
|DO|=\sqrt{3}$$

Z Twierdzenia Pitagorasa wynika, że:
$$|DO|^2+|OS|^2=|DS|^2 \\
(\sqrt{3})^2+(3\sqrt{3})^2=|DS|^2 \\
3+9\cdot3=|DS|^2 \\
|DS|^2=30 \\
|DS|=\sqrt{30}$$

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni bocznej.
Pamiętając o tym, że mamy trzy trójkąty w ścianach bocznych, to pole powierzchni bocznej jest równe:
$$P_{b}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot|DS|\cdot3 \\
P_{b}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot\sqrt{30}\cdot3 \\
P_{b}=9\sqrt{30}$$

Krok 6. Obliczenie cosinusa kąta \(SDB\).
Zgodnie z treścią zadania musimy jeszcze podać wartość cosinusa jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa. W naszym przypadku będzie to kąt \(SDB\):
$$cos\sphericalangle SDB=\frac{|DO|}{|DS|} \\
cos\sphericalangle SDB=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{30}}$$

Usuwając jeszcze niewymierność z mianownika otrzymamy:
$$cos\sphericalangle SDB=\frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{30}}{\sqrt{30}\cdot\sqrt{30}}=\frac{\sqrt{90}}{30}= \\
=\frac{\sqrt{9\cdot10}}{30}=\frac{3\sqrt{10}}{30}=\frac{\sqrt{10}}{10}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz że jest \(90\) liczb dwucyfrowych (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy wypiszesz zdarzenia sprzyjające (patrz: Krok 2.).
Uwaga: Dopuszczalne jest wypisanie także pięciu zdarzeń elementarnych (np. \((10;20)\) oraz \((20;10)\) jest traktowana wtedy jako jedno zdarzenie sprzyjające).
2 pkt
• Gdy obliczysz że jest \(90\) liczb dwucyfrowych (patrz: Krok 1.) oraz wypiszesz zdarzenia sprzyjające (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=8010\) (patrz: Krok 1.).
Uwaga: Dopuszczalna jest odpowiedź \(|Ω|=4005\), ale wtedy para liczb np. \((10;20)\) oraz \((20;10)\) jest traktowana jako jedno zdarzenie sprzyjające i wtedy dalszą konsekwencją jest to, że \(|A|=5\).
3 pkt
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=8010\) (patrz: Krok 1.) oraz zapiszesz, że \(|A|=10\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=4005\) oraz zapiszesz, że \(|A|=5\).
ALBO
• Gdy w wyniku pomyłki napiszesz, że jest \(89\) liczb dwucyfrowych i konsekwentnie do tego błędu obliczysz całe zadanie.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych mamy \(90\). Skoro losowanie odbywa się bez zwracania, to w pierwszym losowaniu mamy \(90\) różnych możliwości, natomiast w drugim już tylko \(89\) (bo odpada nam liczba, która była przed chwilą wylosowana). Stąd też wszystkich zdarzeń elementarnych mamy łącznie:
$$|Ω|=90\cdot89=8010$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest takie, którego suma dwóch liczb jest równa \(30\). Takimi zdarzeniami będą:
$$(10;20), (11;19), (12;18), (13;17), (14;16), \\
(16;14), (17;13), (18;12), (19;11), (20;10)$$

Łącznie jest to \(10\) różnych zdarzeń, tak więc \(|A|=10\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{10}{8010}=\frac{1}{801}$$