Arkusz maturalny zawiera 9 zadań otwartych (zadania zamknięte są identyczne jak na nowej maturze z maja 2016). Łącznie do zdobycia jest 25 punktów, a sugerowany maksymalny czas rozwiązywania to 90 minut.
Zadania otwarte rozwiąż na kartce papieru, a następnie przydziel sobie za nie odpowiednią liczbę punktów zgodnie z punktacją, która wyświetli się na ekranie. Zadania otwarte mają dodatkowo możliwość podejrzenia proponowanego rozwiązania, tak abyś mógł/a jak najrzetelniej przyznać sobie punkty za zadanie.
Jeżeli nie masz pewności jak rozwiązać dane zadanie, to możesz je opuścić i wrócić niego w dowolnej chwili. Kiedy uzupełnisz wszystkie zadania kliknij w przycisk zakończ. Na ekranie pojawi Ci się wtedy liczba zdobytych punktów oraz będziesz mieć możliwość przejrzenia swoich odpowiedzi wraz z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku. Jeżeli jesteś gotowy/a to możesz przejść do pierwszego zadania.
Zadanie 1. (2pkt) Rozwiąż nierówność \(2x^2+5x-3\gt0\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=2,\;b=5,\;c=-3\)
$$Δ=b^2-4ac=5^2-4\cdot2\cdot(-3)=25-(-24)=25+24=49 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5-7}{2\cdot2}=\frac{-12}{4}=-3 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5+7}{2\cdot2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$
Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a\) jest dodatni (bo \(a=2\)), więc parabola będzie mieć ramiona skierowane ku górze. Zaznaczamy na osi miejsca zerowe obliczone przed chwilą (punkty \(x=-3\) oraz \(x=\frac{1}{2}\) będą mieć niezamalowane kropki, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)) i szkicujemy wykres paraboli:
Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Z wykresu możemy odczytać, że funkcja przyjmuje wartości większe lub równe zero dla sumy przedziałów: \(x\in(-\infty;-3)\cup(\frac{1}{2};+\infty)\).
Zadanie 2. (2pkt) Rozwiąż równanie \(x^3+3x^2+2x+6=0\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy pogrupujesz wyrazy i wyłączysz odpowiednie czynniki przed nawias w taki sposób, że w nawiasach jest jednakowa wartość, dzięki której można szybko przejść do postaci iloczynowej albo wręcz doprowadzisz równanie do postaci iloczynowej (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
Wyłączając przed nawias wartość \((x+3)\) otrzymamy:
$$x^3+3x^2+2x+6=0 \\
x^2(x+3)+2(x+3)=0 \\
(x+3)(x^2+2)=0$$
Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
Mamy daną postać iloczynową, czyli aby równanie było równe zero, to któryś z nawiasów musi nam to równanie "wyzerować", zatem:
$$x+3=0 \quad\lor\quad x^2+2=0 \\
x=-3 \quad\lor\quad x^2=-2$$
Z racji tego, iż nie istnieje żadna liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu da wynik ujemny, to jedynym rozwiązaniem tej równości jest \(x=-3\).
Zadanie 3. (2pkt) Kąt \(α\) jest ostry i \((sinα+cosα)^2=\frac{3}{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \(sinα\cdot cosα\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przekształcisz wyrażenie do postaci \(sin^2α+cos^2α+2sinαcosα\).
ALBO
• Gdy rozwiązując to zadanie za pomocą narysowania trójkąta prostokątnego otrzymasz równanie \(\frac{a^2+2ab+b^2}{c^2}\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Podnosimy wartość w nawiasie do kwadratu (zgodnie ze wzorami skróconego mnożenia), a następnie stosujemy tzw. "jedynkę trygonometryczną":
$$(sinα+cosα)^2=\frac{3}{2} \\
sin^2α+2sinαcosα+cos^2α=\frac{3}{2} \\
sin^2α+cos^2α+2sinαcosα=\frac{3}{2} \\
1+2sinαcosα=\frac{3}{2} \\
2sinαcosα=\frac{1}{2} \\
sinαcosα=\frac{1}{4}$$
Zadanie 4. (2pkt) Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\). Na przyprostokątnych \(AC\) i \(AB\) tego trójkąta obrano odpowiednio punkty \(D\) i \(G\). Na przeciwprostokątnej \(BC\) wyznaczono punkty \(E\) i \(F\) takie, że \(|\sphericalangle DEC|=|\sphericalangle BGF|=90°\) (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt \(CDE\) jest podobny do trójkąta \(FBG\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz przynajmniej jedną parę równych sobie kątów ostrych.
ALBO
• Gdy zapiszesz, że na rysunku są tak naprawdę aż trzy trójkąty podobne: \(ABC\), \(GBF\) oraz \(DEC\), ale nie udowodnisz tego korzystając z jakiejkolwiek cechy podobieństwa.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Rozpatrzmy najpierw trójkąty \(ABC\) oraz \(FBG\). Oba są prostokątne i mają wspólny kąt \(\sphericalangle GBF\). Możemy sobie ten kąt oznaczyć jako \(α\) (patrz: rysunek). Skoro te dwie miary kątów w tych trójkątach (kąt prosty oraz kąt \(α\)) są jednakowe, to znaczy że także trzeci kąt ma jednakową miarę, czyli możemy zapisać, że \(|\sphericalangle GFB|=|\sphericalangle ACB|=β\). Mamy więc w tym momencie następującą sytuację:
To teraz spójrzmy na trójkąt \(CDE\). Znamy już dwie miary kątów w tym trójkącie, są one dokładnie takie same jak w trójkącie \(FBG\), a więc i trzeci kąt musi być jednakowy, nie ma innej możliwości. Dzięki temu wiemy, że na pewno także \(|\sphericalangle CDE|=β\). To w zasadzie kończy nasze dowodzenie, bo udowodniliśmy, że trójkąty te są podobne na podstawie cechy podobieństwa kąt-kąt-kąt.
Zadanie 5. (2pkt) Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=2n^2+2n\) dla \(n\ge1\). Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz wzór na sumę dwóch kolejnych wyrazów ciągu: \(S=2n^2+2n+2(n+1)^2+2(n+1)\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Zapisanie sumy dwóch kolejnych wyrazów ciągu.
Sumę dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu zapiszemy jako:
$$S=a_{1}+a_{2} \\
S=2n^2+2n+2(n+1)^2+2(n+1) \\
S=2n^2+2n+2(n^2+2n+1)+2n+2 \\
S=2n^2+2n+2n^2+4n+2+2n+2 \\
S=4n^2+8n+4$$
Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Aby móc udowodnić tezę zawartą w zadaniu musimy przedstawić ten wynik w formie jakiejś potęgi. Z pomocą przychodzą nam wzory skróconego mnożenia, a konkretnie na potęgę sumy: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Zgodnie z tym wzorem:
$$S=4n^2+8n+4=(2n+2)^2$$
\(2n+2\) jest zawsze liczbą naturalną, bo z definicji ciągów wiemy, że \(n\in N\), a liczba naturalna pomnożona przez \(2\) i powiększona o \(2\) dalej jest liczbą naturalną. To oznacza, że dowód został zakończony.
Zadanie 6. (2pkt) W skończonym ciągu arytmetycznym \((a_{n})\) pierwszy wyraz \(a_{1}\) jest równy \(7\) oraz ostatni wyraz \(a_{n}\) jest równy \(89\). Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \(2016\). Oblicz, ile wyrazów ma ten ciąg.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie z jedną niewiadomą \(2016=\frac{7+89}{2}\cdot n\).
ALBO
• Gdy zapiszesz układ równań z dwoma niewiadomymi np. \(7+(n-1)r=89\) oraz \(2016=\frac{2\cdot7+(n-1)r}{2}\cdot n\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Z treści zadania wynika, że \(a_{1}=7\), \(a_{n}=89\) oraz \(S_{n}=2016\). Podstawiając te dane do wzoru na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego otrzymamy:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n \\
2016=\frac{7+89}{2}\cdot n \\
2016=\frac{96}{2}\cdot n \\
2016=48n \\
n=42$$
To oznacza, że nasz ciąg ma \(42\) wyrazy.
Zadanie 7. (4pkt) Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o \(50°\). Oblicz kąty tego trójkąta.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz miary trzech kątów z użyciem jednej niewiadomej np. \(α,\;3α,\;α+50°\) lub nawet \(α-50°,\;a,\;3\cdot(α-50°)\).
2 pkt
• Gdy zapiszesz równanie z jedną niewiadomą np. \(α+3α+α+50°=180°\).
3 pkt
• Gdy obliczysz jedną z trzech miar kątów tego trójkąta.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Jeśli przyjmiemy, że najmniejszy kąt ma miarę równą \(α\), to wtedy dwa kolejne kąty opiszemy jako \(3α\) oraz \(α+50°\). Skoro suma kątów w trójkącie jest równa \(180°\), to otrzymamy:
$$α+3α+α+50°=180° \\
5α=130° \\
α=26°$$
Kąty w tym trójkącie mają więc miarę: \(26°\), \(3\cdot26=78°\) oraz \(26+50=76°\).
Zadanie 8. (5pkt) Grupa znajomych wyjeżdżających na biwak wynajęła bus. Koszt wynajęcia busa jest równy \(960\) złotych i tę kwotę rozłożono po równo pomiędzy uczestników wyjazdu. Do grupy wyjeżdżających dołączyło w ostatniej chwili dwóch znajomych. Wtedy koszt wyjazdu przypadający na jednego uczestnika zmniejszył się o \(16\) złotych. Oblicz, ile osób wyjechało na biwak.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz sensowne oznaczenia i zapiszesz podstawowe relacje między nimi (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednie relacje w formie równania z dwoma niewiadomymi lub w postaci układu równań (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy sprowadzisz obliczenia do postaci równania z jedną niewiadomą, czyli postaci w której występuje jedynie niewiadoma \(x\) lub \(y\) (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie do postaci ogólnej równania kwadratowego (patrz: Krok 2.), ale samo równanie kwadratowe (patrz: Krok 3.) rozwiążesz błędnie.
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
ALBO
• Gdy źle zinterpretujesz otrzymane wyniki z równania kwadratowego.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
\(x\) - początkowa liczba osób, które chciały pojechać na biwak
\(y\) - początkowy koszt wynajęcia busa na jedną osobę
\(960\) - całkowity koszt wynajęcia busa
\(x+2\) - liczba wyjeżdżających po dołączeniu dwóch osób
\(y-16\) - koszt wynajęcia busa na jedną osobę po dołączeniu dwóch osób
Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Na podstawie powyższych informacji możemy ułożyć następujący układ równań:
\begin{cases}
xy=960 \\
(x+2)(y-16)=960
\end{cases}\begin{cases}
xy=960 \\
xy-16x+2y-32=960
\end{cases}
Podstawiając \(xy=960\) z pierwszego równania do drugiego otrzymamy:
$$960-16x+2y-32=960 \\
-16x+2y-32=0 \\
2y=16x+32 \\
y=8x+16$$
Podstawiając teraz \(y=8x+16\) do równania \(xy=960\) otrzymamy:
$$x\cdot(8x+16)=960 \\
8x^2+16x=960 \quad\bigg/:8 \\
x^2+2x=120 \\
x^2+2x-120=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=2,\;c=-120\)
$$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot(-120)=4-(-480)=4+480=484 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{484}=22$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2-22}{2\cdot1}=\frac{-24}{2}=-12 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2+22}{2\cdot1}=\frac{20}{2}=10$$
Krok 4. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Ujemne rozwiązanie odrzucamy, zatem otrzymaliśmy że \(x=10\). Zgodnie z naszymi oznaczeniami jest to początkowa liczba osób, które chciały pojechać na biwak, ale wiemy, że dołączyły do nich jeszcze dwie osoby. Zatem ostatecznie na biwak pojechało \(12\) osób.
Zadanie 9. (4pkt) Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie równa \(30\). Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz że jest \(90\) liczb dwucyfrowych (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy wypiszesz zdarzenia sprzyjające (patrz: Krok 2.).
Uwaga: Dopuszczalne jest wypisanie także pięciu zdarzeń elementarnych (np. \((10;20)\) oraz \((20;10)\) jest traktowana wtedy jako jedno zdarzenie sprzyjające).
2 pkt
• Gdy obliczysz że jest \(90\) liczb dwucyfrowych (patrz: Krok 1.) oraz wypiszesz zdarzenia sprzyjające (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=8010\) (patrz: Krok 1.).
Uwaga: Dopuszczalna jest odpowiedź \(|Ω|=4005\), ale wtedy para liczb np. \((10;20)\) oraz \((20;10)\) jest traktowana jako jedno zdarzenie sprzyjające i wtedy dalszą konsekwencją jest to, że \(|A|=5\).
3 pkt
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=8010\) (patrz: Krok 1.) oraz zapiszesz, że \(|A|=10\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=4005\) oraz zapiszesz, że \(|A|=5\).
ALBO
• Gdy w wyniku pomyłki napiszesz, że jest \(89\) liczb dwucyfrowych i konsekwentnie do tego błędu obliczysz całe zadanie.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych mamy \(90\). Skoro losowanie odbywa się bez zwracania, to w pierwszym losowaniu mamy \(90\) różnych możliwości, natomiast w drugim już tylko \(89\) (bo odpada nam liczba, która była przed chwilą wylosowana). Stąd też wszystkich zdarzeń elementarnych mamy łącznie:
$$|Ω|=90\cdot89=8010$$
Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest takie, którego suma dwóch liczb jest równa \(30\). Takimi zdarzeniami będą:
$$(10;20), (11;19), (12;18), (13;17), (14;16), \\
(16;14), (17;13), (18;12), (19;11), (20;10)$$
Łącznie jest to \(10\) różnych zdarzeń, tak więc \(|A|=10\).
Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{10}{8010}=\frac{1}{801}$$