Tabela przedstawia wyniki uzyskane na sprawdzianie przez uczniów klasy III. Oblicz średnią arytmetyczną

Tabela przedstawia wyniki uzyskane na sprawdzianie przez uczniów klasy III.
$$
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}
\text{Oceny} & \text{6} & \text{5} & \text{4} & \text{3} & \text{2} & \text{1} \\
\hline
\text{Liczba uczniów} & \text{1} & \text{2} & \text{6} & \text{5} & \text{9} & \text{2}
\end{array}
$$

Oblicz średnią arytmetyczną i kwadrat odchylenia standardowego uzyskanych ocen.

Rozwiązanie:
Krok 1. Obliczenie średniej arytmetycznej.

Aby obliczyć wartość średniej arytmetycznej musimy dodać do siebie wartość wszystkich zdobytych oceny i podzielić ją przez sumę wszystkich uczniów:
$$\bar{a}=\frac{6\cdot1+5\cdot2+4\cdot6+3\cdot5+2\cdot9+1\cdot2}{1+2+6+5+9+2}=\frac{75}{25}=3$$

Krok 2. Obliczenie kwadratu odchylenia standardowego.

Kwadrat odchylenia standardowego (czyli wariancję) możemy obliczyć na dwa sposoby:

I sposób:

$$σ^2=\frac{(6-3)^2\cdot1+(5-3)^2\cdot2+(4-3)^2\cdot6+(3-3)^2\cdot5+(2-3)^2\cdot9+(1-3)^2\cdot2}{1+2+6+5+9+2}= \\
=\frac{3^2\cdot1+2^2\cdot2+1^2\cdot6+0^2\cdot5+(-1)^2\cdot9+(-2)^2\cdot2}{25}= \\
=\frac{9\cdot1+4\cdot2+1\cdot6+0\cdot5+1\cdot9+4\cdot2}{25}= \\
=\frac{9+8+6+0+9+8}{25}=\frac{40}{25}=1,6$$

II sposób:

$$σ^2=\frac{6^2\cdot1+5^2\cdot2+4^2\cdot6+3^2\cdot5+2^2\cdot9+1^2\cdot2}{1+2+6+5+9+2}-(\bar{a})^2= \\
=\frac{36\cdot1+25\cdot2+16\cdot6+9\cdot5+4\cdot9+1\cdot2}{25}-3^2= \\
=\frac{36+50+96+45+36+2}{25}-9=\frac{265}{25}-9=10,6-9=1,6$$

Uwaga! Nie musimy pierwiastkować otrzymanego wyniku! Wariancję po prostu oznacza się jako \(σ^2\), a nie jako \(σ\), stąd też wynik \(1,6\) jest naszym wynikiem końcowym.

Odpowiedź:

Średnia arytmetyczna jest równa \(3\), natomiast kwadrat odchylenia standardowego jest równy \(1,6\).

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.