Rozwiązanie
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(m\) - liczba dni potrzebnych na rozwiązanie
\(n\) - liczba rozwiązywanych zadań dziennie
\(m-10\) - skrócona liczba dni nauki
\(n+5\) - zwiększona liczba rozwiązywanych zadań
Dodatkowo z treści zadania wynika, że zadań, których Szymon jeszcze nie opanował mamy:
$$3697-97=3600$$
Krok 2. Ułożenie równań.
Na podstawie treści zadania możemy wywnioskować, że liczba dni pomnożona przez liczbę zadań rozwiązywanych dziennie powinna dać wynik równy \(3600\), zatem:
$$m\cdot n=3600$$
Chcemy, by liczba dni była skrócona o \(10\), a liczba zadań żeby była zwiększona o \(5\), zatem powstanie nam następujące równanie:
$$(m-10)\cdot(n+5)=3600 \\
mn+5m-10n-50=3600$$
Zapisaliśmy sobie przed chwilą, że \(mn=3600\), więc podstawiając tę wartość do naszego równania, otrzymamy:
$$3600+5m-10n-50=3600 \\
5m=10n+50 \\
m=2n+10$$
Teraz wracamy do równania \((m-10)\cdot(n+5)=3600\) i podstawiamy tam wyznaczone przed chwilą \(m=2n+10\), zatem:
$$(2n+10-10)\cdot(n+5)=3600 \\
2n\cdot(n+5)=3600 \\
2n^2+10n=3600 \\
2n^2+10n-3600=0 \\
n^2+5n-1800=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Równanie jest zapisane w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: \(a=1,\;b=5,\;c=-1800\)
$$Δ=b^2-4ac=5^2-4\cdot1\cdot(-1800)=25-(-7200)=7225 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{7225}=85$$
$$n_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5-85}{2\cdot1}=\frac{-90}{2}=-45 \\
n_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5+85}{2\cdot1}=\frac{80}{2}=40$$
Krok 4. Obliczenie liczby dni potrzebnych na rozwiązywanie zadań.
Z równania kwadratowego otrzymaliśmy dwa rozwiązania, ale to ujemne musimy oczywiście odrzucić, ponieważ liczba rozwiązywanych zadań nie może być ujemna. Zostaje nam więc jedynie \(n=40\). Celem zadania jest wyznaczenie \(m\), czyli liczby dni, zatem korzystając z jednego z równań zapisanych wcześniej, możemy zapisać, że:
$$m=2n+10 \\
m=2\cdot40+10 \\
m=80+10 \\
m=90$$
