Szósty wyraz ciągu arytmetycznego an jest równy zero. Suma jedenastu wyrazów tego ciągu ma wartość

Szósty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_{n})\) jest równy zero. Suma jedenastu wyrazów tego ciągu ma wartość:

Rozwiązanie

Krok 1. Rozpisanie wartości pierwszego wyrazu.
Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że:
$$a_{6}=a_{1}+5r \\
\text{czyli:} \\
a_{1}=a_{6}-5r$$

Skoro \(a_{6}\) jest równe \(0\), to wychodzi nam, że:
$$a_{1}=0-5r \\
a_{1}=-5r$$

Krok 2. Obliczenie sumy jedenastu pierwszych wyrazów tego ciągu.
Korzystając ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n \\
S_{11}=\frac{2a_{1}+(11-1)r}{2}\cdot11 \\
S_{11}=\frac{2\cdot(-5r)+10r}{2}\cdot11 \\
S_{11}=\frac{-10r+10r}{2}\cdot11 \\
S_{11}=\frac{0}{2}\cdot11 \\
S_{11}=0$$

Odpowiedź

A

Dodaj komentarz