Suma trzydziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego an, określonego dla n≥1, jest równa 30

Suma trzydziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_{n})\), określonego dla \(n\ge1\), jest równa \(30\). Ponadto \(a_{30}=30\). Oblicz różnicę tego ciągu.

Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Ze wzoru na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego wynika, że:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n \\
S_{30}=\frac{a_{1}+a_{30}}{2}\cdot30 \\
30=\frac{a_{1}+30}{2}\cdot30 \quad\bigg/:30 \\
1=\frac{a_{1}+30}{2} \\
2=a_{1}+30 \\
a_{1}=-28$$

Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\
a_{30}=a_{1}+(30-1)r \\
a_{30}=a_{1}+29r \\
30=-28+29r \\
58=29r \\
r=2$$

Odpowiedź

\(r=2\)

Dodaj komentarz