Suma n początkowych wyrazów tego ciągu wyraża się wzorem Sn=n^2+2n

Ciąg $(a_{n})$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$. Suma $n$ początkowych wyrazów tego ciągu wyraża się wzorem $S_{n}=n^2+2n$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$. Trzeci wyraz ciągu $(a_{n})$ jest równy:

A. $5$

B. $7$

C. $13$

D. $15$

Rozwiązanie

Ustalmy może najpierw co liczymy i czego szukamy. Jeśli podstawilibyśmy $n=3$ do wzoru z treści zadania, to obliczylibyśmy ile jest równe $S_{3}$, czyli ile jest równe $a_{1}+a_{2}+a_{3}$. Celem tego zadania jest jednak poznanie samej wartości $a_{3}$. Jak tego dokonać?

Powinniśmy zauważyć, że licząc $S_{2}$ obliczymy sumę $a_{1}+a_{2}$, natomiast licząc $S_{3}$ obliczymy sumę $a_{1}+a_{2}+a_{3}$. Różnica między tymi wynikami jest więc niczym innym jak poszukiwanym przez nas $a_{3}$. Obliczmy zatem osobno $S_{2}$ oraz $S_{3}$:
$$S_{2}=2^2+2\cdot2=4+4=8 \\
S_{3}=3^2+2\cdot3=9+6=15$$

Jak już ustaliliśmy, trzeci wyraz ciągu będzie różnicą tych dwóch sum, zatem:
$$a_{3}=S_{3}-S_{2} \\
a_{3}=15-8 \\
a_{3}=7$$

Odpowiedź

Zadania

Suma n początkowych wyrazów tego ciągu wyraża się wzorem Sn=n^2+2n

Ciąg \((a_{n})\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Suma \(n\) początkowych wyrazów tego ciągu wyraża się wzorem \(S_{n}=n^2+2n\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Trzeci wyraz ciągu \((a_{n})\) jest równy:

Rozwiązanie