Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem Sn=n(n-2). Oblicz pierwszy wyraz ciągu

Suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem \(S_{n}=n(n-2)\). Oblicz pierwszy wyraz ciągu i jego różnicę.

Rozwiązanie

I sposób - obliczając wartości pierwszego i drugiego wyrazu:
Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Jeżeli podstawimy do wzoru \(n=1\), to otrzymamy "sumę pierwszego wyrazu", czyli tak naprawdę wartość tego pierwszego wyrazu. W związku z tym:
$$S_{n}=n(n-2) \\
S_{1}=1(1-2) \\
S_{1}=1\cdot-1 \\
S_{1}=-1$$

To oznacza, że \(a_{1}=-1\).

Krok 2. Obliczenie wartości drugiego wyrazu.
Jeżeli tym razem podstawimy \(n=2\), to otrzymamy sumę dwóch pierwszych wyrazów, czyli \(a_{1}+a_{2}\). Wartość \(a_{1}\) już znamy, więc dzięki temu będziemy w stanie obliczyć wartość drugiego wyrazu. Zatem:
$$S_{n}=n(n-2) \\
S_{2}=2(2-2) \\
S_{2}=2\cdot0 \\
S_{2}=0$$

Zgodnie z tym co sobie powiedzieliśmy \(S_{2}=a_{1}+a_{2}\). Podstawiając pod to \(a_{1}=-1\) otrzymamy:
$$S_{2}=a_{1}+a_{2} \\
0=-1+a_{2} \\
a_{2}=1$$

Krok 3. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Znając dwa pierwsze wyrazy ciągu bez problemu obliczymy różnicę ciągu arytmetycznego:
$$r=a_{2}-a_{1} \\
r=1-(-1) \\
r=2$$

II sposób - wyznaczając wzór ciągu:
Krok 1. Wyznaczenie wzoru ciągu arytmetycznego.
Dobrym sposobem na rozwiązanie tego zadania byłoby też wyznaczenie wzoru ciągu. Uda nam się to zrobić w następujący sposób:
$$a_{n}=S_{n}-S_{n-1} \\
a_{n}=n(n-2)-(n-1)((n-1)-2) \\
a_{n}=n(n-2)-(n-1)(n-3) \\
a_{n}=n^2-2n-n^2+3n+n-3 \\
a_{n}=2n-3$$

Krok 2. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu.
Znając wzór ciągu możemy wyznaczyć bez problemu wartość dowolnego wyrazu. Szukając wartości pierwszego wyrazu podstawimy \(n=1\) i otrzymamy:
$$a_{1}=2\cdot1-3 \\
a_{1}=2-3 \\
a_{1}=-1$$

Krok 3. Wyznaczenie różnicy ciągu.
Tak naprawdę nie musimy nic więcej liczyć by poznać różnicę ciągu. Z własności wzorów ciągów arytmetycznych wynika, że różnicą ciągu jest liczba która znajduje się przed \(n\). W tym przypadku przed \(n\) znalazła się dwójka, czyli \(r=2\). Gdybyśmy o tej własności nie pamiętali, to zawsze możemy wyliczyć wartość drugiego wyrazu i potem obliczyć różnicę ciągu:
$$a_{n}=2n-3 \\
a_{2}=2\cdot2-3 \\
a_{2}=4-3 \\
a_{2}=1$$

Zatem różnica ciągu wyniesie:
$$r=a_{2}-a_{1} \\
r=1-(-1) \\
r=2$$

Odpowiedź

\(r=2\) oraz \(a_{1}=-1\)

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments