Suma log8 16+1 jest równa

Suma \(\log_{8}16+1\) jest równa:

\(3\)
\(\frac{3}{2}\)
\(\log_{8}17\)
\(\frac{7}{3}\)
Rozwiązanie:
Krok 1. Obliczenie wartości logarytmu.

Najpierw obliczmy wartość \(\log_{8}16\). Z definicji logarytmu wiemy, że:
$$\log_{8}16=x \Longleftrightarrow 8^{x}=16$$

Widzimy wyraźnie, że wynik tego logarytmu nie jest liczbą całkowitą, bo nie istnieje taka liczba całkowita, do której można podnieść liczbę \(8\), by otrzymać \(16\). Przykładowo \(8^1=8\), natomiast \(8^2=64\). Wynik naszego logarytmu jest więc gdzieś pomiędzy jedynką i dwójką (nawet możemy stwierdzić, że jest bliżej jedynki).

Skoro nie obliczymy tego logarytmu w pamięci to musimy zamienić ósemkę i szesnastkę na potęgi o wspólnej podstawie:
$$8^{x}=16 \\
(2^3)^x=2^4 \\
2^{3x}=2^4$$

Po doprowadzeniu liczb do wspólnej podstawy możemy teraz porównać wykładniki potęg:
$$3x=4 \\
x=\frac{4}{3}$$

W ten sposób udało nam się obliczyć, że \(\log_{8}16=\frac{4}{3}\).

Krok 2. Obliczenie wartości całego wyrażenia.

$$\log_{8}16+1=\frac{4}{3}+\frac{3}{3}=\frac{7}{3}$$

Podpowiedź:
Kluczowe jest wyliczenie logarytmu i wiele osób ma z tym problem. Pokażę więc jak drogą dedukcji i eliminacji można rozwiązać to zadanie. Musimy sobie odpowiedzieć na pytanie do jakiej potęgi trzeba podnieść \(8\), aby otrzymać \(16\). No na pewno nie do potęgi pierwszej, bo \(8^1=8\), ani nie do drugiej, bo \(8^2=64\). Widzimy, że wartość tego logarytmu musi być czymś pomiędzy jedynką i dwójką. Do tego mamy dodać jeszcze \(1\), więc wynik powinien być większy niż \(2\) i mniejszy niż \(3\). Taki wynik jest tylko w ostatniej odpowiedzi i w ten oto sposób nawet nie wykonując obliczeń możemy zaznaczyć prawidłową odpowiedź.

Odpowiedź:

D. \(\frac{7}{3}\)

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.