Rozwiązanie
Krok 1. Zapisanie równań.
Z treści zadania wynika, że suma dwóch liczb ma być równa \(12\), czyli:
$$x+y=12 \\
y=12-x$$
Dodatkowo od razu możemy zapisać założenia do naszego zadania. Liczby muszą być nieujemne, a jednocześnie ich suma jest równa \(12\), więc każda z tych liczb musi być większa lub równa \(0\) i jednocześnie mniejsza lub równa \(12\). Zapisalibyśmy więc założenie, że \(x\in\langle0;12\rangle\) oraz \(y\in\langle0;12\rangle\).
Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji \(f(x)\).
Kluczem do sukcesu będzie zapisanie wartości wyrażenia z użyciem jednej zmiennej, czyli zmiennej \(x\). Aby tego dokonać, wystarczy podstawić wyznaczone \(y=12-x\) do wyrażenia \(2x^2+y^2\), otrzymując:
$$2x^2+(12-x)^2= \\
=2x^2+144-24x+x^2= \\
=3x^2-24x+144$$
Teraz całość musimy potraktować jako funkcję kwadratową, więc moglibyśmy zapisać, że \(f(x)=3x^2-24x+144\).
Krok 3. Wyznaczenie wartości \(x\) oraz \(y\).
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, a tutaj ta parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry, ponieważ współczynnik kierunkowy \(a=3\) jest większy od zera.
Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego \(x\) ta wartość będzie najmniejsza, a wiemy, że parabola skierowana ramionami do góry osiągnie swoją najmniejszą wartość w wierzchołku. Aby obliczyć tę wartość, musimy skorzystać ze wzoru na współrzędną \(x_{W}\) (często oznaczaną też jako \(p\)):
$$x_{W}=\frac{-b}{2a} \\
x_{W}=\frac{-(-24)}{2\cdot3} \\
x_{W}=\frac{24}{6} \\
x_{W}=4$$
To oznacza, że najmniejsza wartość będzie przyjmowana wtedy, gdy \(x=4\). Od razu możemy obliczyć jaka będzie wartość \(y\). W tym celu wystarczy skorzystać z równania zapisanego w pierwszym kroku, czyli:
$$y=12-4 \\
y=8$$
Krok 4. Wyznaczenie najmniejszej wartości.
Największą pułapką tego zadania jest to, że obliczona przed chwilą wartość \(y=8\) to nie jest najmniejsza wartość funkcji. Musimy zwrócić uwagę, że \(x\) oraz \(y\) to liczby, dla których ta najmniejsza wartość jest przyjmowana, więc trzeba byłoby teraz podstawić \(x=4\) oraz \(y=8\) do tego wyrażenia i sprawdzić jaki wynik otrzymamy:
$$2\cdot4^2+8^2=2\cdot16+64=32+64=96$$
Równie dobrze można byłoby skorzystać z naszej funkcji \(f(x)=3x^2-24x+144\) i obliczyć \(f(4)\), co wyglądałoby następująco:
$$f(4)=3\cdot4^2-24\cdot4+144 \\
f(4)=3\cdot16-96+144 \\
f(4)=48-96+144 \\
f(4)=96$$
