Sprowadź wyrażenie |x-1|+|x|-|-x+1| do najprostszej postaci, gdy x∈(0,1)

Sprowadź wyrażenie \(|x-1|+|x|-|-x+1|\) do najprostszej postaci, gdy \(x\in(0, 1)\).

Rozwiązanie

Krok 1. Ustalenie, czy dana wartość jest dodatnia czy ujemna.
Aby opuścić nawiasy bezwzględności musimy najpierw ustalić, czy liczby z których wyznaczamy wartości bezwzględne są dodatnie, czy też ujemne. Jeżeli wartość w nawiasie jest dodatnia, to opuszczając nawias nie zmieniamy znaku np \(|5|=5\). Jeżeli wartość w nawiasie jest ujemna, to opuszczając nawias wartości bezwzględnej musimy zmienić znak liczby np. \(|-5|=5\) (i na tym właśnie polega cała trudność tego zadania). Sprawdźmy zatem po kolei jakie wartości znalazły się w nawiasach:

\(|x-1|\) - tutaj wartość w nawiasie jest ujemna. Przykładowo dla \(x=0,2\) mamy \(|0,2-1|\), czyli \(|-0,8|\).
\(|x|\) - tutaj wartość w nawiasie jest dodatnia. Przykładowo dla \(x=0,2\) mamy \(|0,2|\).
\(|-x+1|\) - tutaj wartość w nawiasie jest dodatnia. Przykładowo dla \(x=0,2\) mamy \(|-0,2+1|\), czyli \(|0,8|\).

Krok 2. Uproszczenie wyrażenia.
Zgodnie więc z tym co zapisaliśmy powyżej, opuszczając pierwszy nawias wartości bezwzględnej będziemy musieli zmienić znaki, natomiast pozostałe nawiasy opuścimy bez zmiany znaków. Oprócz tego musimy uważać na to, że przed trzecim nawiasem stoi minus, który wpłynie na zmianę znaków:
$$|x-1|+|x|-|-x+1|= \\
=-x+1+x-(-x+1)= \\
=-x+1+x+x-1=x$$

Odpowiedź

\(x\)

Dodaj komentarz