Spośród wszystkich wierzchołków sześciokąta foremnego o krawędzi 1 losujemy dowolne dwa

Spośród wszystkich wierzchołków sześciokąta foremnego o krawędzi \(1\) losujemy dowolne dwa. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wylosowane wierzchołki utworzą odcinek, którego długość jest liczbą niewymierną.

Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zastanówmy się jakie odcinki mogą nam wyjść kiedy wylosujemy dwa wierzchołki sześciokąta. Możemy spotkać się z jedną z trzech sytuacji:
matura z matematyki

• w pierwszej sytuacji kiedy wylosowane punkty są sąsiadującymi wierzchołkami to otrzymamy odcinek o długości \(1\).
• w drugiej sytuacji wylosowane punkty mogą utworzyć dłuższą przekątną sześciokąta. Jej długość jest równa \(1+1=2\), co widać wyraźnie na naszym rysunku (dłuższe przekątne podzieliły nam sześciokąt na sześć trójkątów równobocznych).
• w trzeciej sytuacji wylosowane punkty mogą utworzyć krótszą przekątną sześciokąta. Jej długość jest zgodnie z własnościami trójkątów o kątach \(30°,60°,90°\) równa \(\sqrt{3}\).

Krok 2. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Analizując nasz sześciokąt możemy dostrzec, że losując dwa dowolne wierzchołki możemy otrzymać:
• \(6\) boków o długości \(1\) (to będą boki sześciokąta)
• \(3\) dłuższe przekątne o długości \(2\)
• \(6\) krótszych przekątnych o długości \(\sqrt{3}\) (utworzą one taką gwiazdkę)

matura z matematyki

Łącznie jest to \(6+3+6=15\) różnych odcinków. Możemy więc zapisać, że \(|Ω|=15\).

Krok 3. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniami sprzyjającymi będzie wylosowanie odcinka o długości niewymiernej, czyli w tym przypadku o długości \(\sqrt{3}\). Mamy takich \(6\) odcinków, zatem \(|A|=6\).

Krok 4. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$$

UWAGA: Zadanie jest dość mylące, bowiem tak prawdę mówiąc nigdzie nie jest powiedziane, że nie można byłoby wylosować dwóch tych samych wierzchołków i tym samym długość takiego odcinka byłaby równa \(0\). Powiększyłaby nam się w ten sposób o \(6\) liczba możliwych zdarzeń elementarnych. Moim zdaniem jeżeli ktoś na prawdziwej maturze obliczyłby to zadanie w taki sposób, otrzymując prawdopodobieństwo równe \(\frac{6}{21}=\frac{2}{7}\), to zadanie też byłoby uznane.

Odpowiedź

\(P(A)=\frac{2}{5}\)

Dodaj komentarz