Rozwiązanie
Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Rozpiszmy sobie liczbę czterocyfrową jako \(■ ■ ■ ■\) i zastanówmy się, na ile sposobów możemy uzupełnić każdą z liczb.
· Cyfrą tysięcy może być jedna z dziewięciu cyfr (od \(1\) do \(9\), bez \(0\)), zatem mamy tutaj \(9\) możliwości wyboru.
· Cyfrą setek może być jedna z dziesięciu cyfr (od \(0\) do \(9\)), zatem mamy tutaj \(10\) możliwości wyboru.
· Cyfrą dziesiątek może być jedna z dziesięciu cyfr (od \(0\) do \(9\)), zatem mamy tutaj \(10\) możliwości wyboru.
· Cyfrą jedności może być jedna z dziesięciu cyfr (od \(0\) do \(9\)), zatem mamy tutaj \(10\) możliwości wyboru.
To oznacza, że wszystkich zdarzeń elementarnych (czyli wszystkich liczb czterocyfrowych) będziemy mieć zgodnie z regułą mnożenia:
$$9\cdot10\cdot10\cdot10=9000$$
Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja, w której w liczbie wystąpi dokładnie jedna cyfra \(2\) i dokładnie jedna cyfra \(3\), a dodatkowo cała liczba będzie parzysta. Jest to sytuacja bardzo złożona, dlatego aby się nie pogubić, rozpiszmy sobie interesujące nas warianty:
I wariant - \(2 3 ■ ■\)
· Cyfrą dziesiątek może być jedna z ośmiu cyfr (od \(0\) do \(9\), bez \(2\) oraz \(3\)), zatem mamy tutaj \(8\) możliwości.
· Cyfrą jedności może być jedna z czterech cyfr (\(0, 4, 6, 8\), bo liczba ma być parzysta i nie może tu być \(2\)), zatem mamy tutaj \(4\) możliwości.
To oznacza, że takich liczb jesteśmy w stanie ułożyć \(8\cdot4=32\).
II wariant - \(2 ■ 3 ■\)
· Cyfrą setek może być jedna z ośmiu cyfr (od \(0\) do \(9\), bez \(2\) oraz \(3\)), zatem mamy tutaj \(8\) możliwości.
· Cyfrą jedności może być jedna z czterech cyfr (\(0, 4, 6, 8\), bo liczba ma być parzysta i nie może tu być \(2\)), zatem mamy tutaj \(4\) możliwości.
To oznacza, że takich liczb jesteśmy w stanie ułożyć \(8\cdot4=32\).
III wariant - \(■ 2 3 ■\)
· Cyfrą tysięcy może być jedna z siedmiu cyfr (od \(1\) do \(9\), bez \(0, 2\) oraz \(3\)), zatem mamy tutaj \(7\) możliwości.
· Cyfrą jedności może być jedna z czterech cyfr (\(0, 4, 6, 8\), bo liczba ma być parzysta i nie może tu być \(2\)), zatem mamy tutaj \(4\) możliwości.
To oznacza, że takich liczb jesteśmy w stanie ułożyć \(7\cdot4=28\).
IV wariant - \(3 2 ■ ■\)
· Cyfrą dziesiątek może być jedna z ośmiu cyfr (od \(0\) do \(9\), bez \(2\) oraz \(3\)), zatem mamy tutaj \(8\) możliwości.
· Cyfrą jedności może być jedna z czterech cyfr (\(0, 4, 6, 8\), bo liczba ma być parzysta i nie może tu być \(2\)), zatem mamy tutaj \(4\) możliwości.
To oznacza, że takich liczb jesteśmy w stanie ułożyć \(8\cdot4=32\).
V wariant - \(3 ■ 2 ■\)
· Cyfrą setek może być jedna z ośmiu cyfr (od \(0\) do \(9\), bez \(2\) oraz \(3\)), zatem mamy tutaj \(8\) możliwości.
· Cyfrą jedności może być jedna z czterech cyfr (\(0, 4, 6, 8\), bo liczba ma być parzysta i nie może tu być \(2\)), zatem mamy tutaj \(4\) możliwości.
To oznacza, że takich liczb jesteśmy w stanie ułożyć \(8\cdot4=32\).
VI wariant - \(3 ■ ■ 2\)
· Cyfrą setek może być jedna z ośmiu cyfr (od \(0\) do \(9\), bez \(2\) oraz \(3\)), zatem mamy tutaj \(8\) możliwości.
· Cyfrą dziesiątek może być jedna z ośmiu cyfr (od \(0\) do \(9\), bez \(2\) oraz \(3\)), zatem mamy tutaj \(8\) możliwości.
To oznacza, że takich liczb jesteśmy w stanie ułożyć \(8\cdot8=64\).
VII wariant - \(■ 3 2 ■\)
· Cyfrą tysięcy może być jedna z siedmiu cyfr (od \(1\) do \(9\), bez \(0, 2\) oraz \(3\)), zatem mamy tutaj \(7\) możliwości.
· Cyfrą jedności może być jedna z czterech cyfr (\(0, 4, 6, 8\), bo liczba ma być parzysta i nie może tu być \(2\)), zatem mamy tutaj \(4\) możliwości.
To oznacza, że takich liczb jesteśmy w stanie ułożyć \(7\cdot4=28\).
VIII wariant - \(■ 3 ■ 2\)
· Cyfrą tysięcy może być jedna z siedmiu cyfr (od \(1\) do \(9\), bez \(0, 2\) oraz \(3\)), zatem mamy tutaj \(7\) możliwości.
· Cyfrą dziesiątek może być jedna z ośmiu cyfr (od \(0\) do \(9\), bez \(2\) oraz \(3\)), zatem mamy tutaj \(8\) możliwości.
To oznacza, że takich liczb jesteśmy w stanie ułożyć \(7\cdot8=56\).
IX wariant - \(■ ■ 3 2\)
· Cyfrą tysięcy może być jedna z siedmiu cyfr (od \(1\) do \(9\), bez \(0, 2\) oraz \(3\)), zatem mamy tutaj \(7\) możliwości.
· Cyfrą setek może być jedna z ośmiu cyfr (od \(0\) do \(9\), bez \(2\) oraz \(3\)), zatem mamy tutaj \(8\) możliwości.
To oznacza, że takich liczb jesteśmy w stanie ułożyć \(7\cdot8=56\).
Teraz korzystając z reguły dodawania musimy zsumować wszystkie interesujące możliwości:
$$|A|=32+32+28+32+32+64+28+56+56=360$$
Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{360}{9000}=\frac{1}{25}$$
Skąd jest to zadanie?
To zadanie jest z jednej z matur :)
Czy jeśli mam podobne zadanie „Ile jest liczb czterocyfrowych całkowitych dodatnich, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie jedna liczba 5 i jedna 7” to liczę podobnie tylko nie biorę pod uwagę parzystych? Wyszło mi 720 możliwości i chyba oszalałem licząc to…
Tak, można zastosować identyczny sposób liczenia. Ale czemu nie bierzesz pod uwagę liczb parzystych? Domyślam się, że to z treści zadania wynika, tylko tutaj coś źle zapisałeś/aś ;)
dlaczego nie liczymy przypadku, gdzie 2 jest cyfrą jedności? wtedy liczba także byłaby parzysta, np jeśli na pierwszym miejscu będzie 3, to na pierwszym miejscu mamy 1 możliwość, na drugim i trzecim mamy 8 możliwości, a na ostatnim jedną możliwość (tutaj jest 2) i tak samo mozna wstedy rozpisac inne przypadki, gdzie 3 jest cyfra dziesiatek i setek
No ale przecież wariant VI, VIII oraz IX to właśnie przypadki, gdzie 2 jest cyfrą jedności ;)