Spośród wszystkich czterocyfrowych całkowitych liczb dodatnich losujemy jedną liczbę

Spośród wszystkich czterocyfrowych całkowitych liczb dodatnich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba będzie parzysta, a w jej zapisie dziesiętnym wystąpią dokładnie jedna cyfra \(2\) i dokładnie jedna cyfra \(3\).

Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Rozpiszmy sobie liczbę czterocyfrową jako \(■ ■ ■ ■\) i zastanówmy się, na ile sposobów możemy uzupełnić każdą z liczb.

· Cyfrą tysięcy może być jedna z dziewięciu cyfr (od \(1\) do \(9\), bez \(0\)), zatem mamy tutaj \(9\) możliwości wyboru.
· Cyfrą setek może być jedna z dziesięciu cyfr (od \(0\) do \(9\)), zatem mamy tutaj \(10\) możliwości wyboru.
· Cyfrą dziesiątek może być jedna z dziesięciu cyfr (od \(0\) do \(9\)), zatem mamy tutaj \(10\) możliwości wyboru.
· Cyfrą jedności może być jedna z dziesięciu cyfr (od \(0\) do \(9\)), zatem mamy tutaj \(10\) możliwości wyboru.

To oznacza, że wszystkich zdarzeń elementarnych (czyli wszystkich liczb czterocyfrowych) będziemy mieć zgodnie z regułą mnożenia:
$$9\cdot10\cdot10\cdot10=9000$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja, w której w liczbie wystąpi dokładnie jedna cyfra \(2\) i dokładnie jedna cyfra \(3\), a dodatkowo cała liczba będzie parzysta. Jest to sytuacja bardzo złożona, dlatego aby się nie pogubić, rozpiszmy sobie interesujące nas warianty:

I wariant - \(2 3 ■ ■\)
· Cyfrą dziesiątek może być jedna z ośmiu cyfr (od \(0\) do \(9\), bez \(2\) oraz \(3\)), zatem mamy tutaj \(8\) możliwości.
· Cyfrą jedności może być jedna z czterech cyfr (\(0, 4, 6, 8\), bo liczba ma być parzysta i nie może tu być \(2\)), zatem mamy tutaj \(4\) możliwości.

To oznacza, że takich liczb jesteśmy w stanie ułożyć \(8\cdot4=32\).

II wariant - \(2 ■ 3 ■\)
· Cyfrą setek może być jedna z ośmiu cyfr (od \(0\) do \(9\), bez \(2\) oraz \(3\)), zatem mamy tutaj \(8\) możliwości.
· Cyfrą jedności może być jedna z czterech cyfr (\(0, 4, 6, 8\), bo liczba ma być parzysta i nie może tu być \(2\)), zatem mamy tutaj \(4\) możliwości.

To oznacza, że takich liczb jesteśmy w stanie ułożyć \(8\cdot4=32\).

III wariant - \(■ 2 3 ■\)
· Cyfrą tysięcy może być jedna z siedmiu cyfr (od \(1\) do \(9\), bez \(0, 2\) oraz \(3\)), zatem mamy tutaj \(7\) możliwości.
· Cyfrą jedności może być jedna z czterech cyfr (\(0, 4, 6, 8\), bo liczba ma być parzysta i nie może tu być \(2\)), zatem mamy tutaj \(4\) możliwości.

To oznacza, że takich liczb jesteśmy w stanie ułożyć \(7\cdot4=28\).

IV wariant - \(3 2 ■ ■\)
· Cyfrą dziesiątek może być jedna z ośmiu cyfr (od \(0\) do \(9\), bez \(2\) oraz \(3\)), zatem mamy tutaj \(8\) możliwości.
· Cyfrą jedności może być jedna z czterech cyfr (\(0, 4, 6, 8\), bo liczba ma być parzysta i nie może tu być \(2\)), zatem mamy tutaj \(4\) możliwości.

To oznacza, że takich liczb jesteśmy w stanie ułożyć \(8\cdot4=32\).

V wariant - \(3 ■ 2 ■\)
· Cyfrą setek może być jedna z ośmiu cyfr (od \(0\) do \(9\), bez \(2\) oraz \(3\)), zatem mamy tutaj \(8\) możliwości.
· Cyfrą jedności może być jedna z czterech cyfr (\(0, 4, 6, 8\), bo liczba ma być parzysta i nie może tu być \(2\)), zatem mamy tutaj \(4\) możliwości.

To oznacza, że takich liczb jesteśmy w stanie ułożyć \(8\cdot4=32\).

VI wariant - \(3 ■ ■ 2\)
· Cyfrą setek może być jedna z ośmiu cyfr (od \(0\) do \(9\), bez \(2\) oraz \(3\)), zatem mamy tutaj \(8\) możliwości.
· Cyfrą dziesiątek może być jedna z ośmiu cyfr (od \(0\) do \(9\), bez \(2\) oraz \(3\)), zatem mamy tutaj \(8\) możliwości.

To oznacza, że takich liczb jesteśmy w stanie ułożyć \(8\cdot8=64\).

VII wariant - \(■ 3 2 ■\)
· Cyfrą tysięcy może być jedna z siedmiu cyfr (od \(1\) do \(9\), bez \(0, 2\) oraz \(3\)), zatem mamy tutaj \(7\) możliwości.
· Cyfrą jedności może być jedna z czterech cyfr (\(0, 4, 6, 8\), bo liczba ma być parzysta i nie może tu być \(2\)), zatem mamy tutaj \(4\) możliwości.

To oznacza, że takich liczb jesteśmy w stanie ułożyć \(7\cdot4=28\).

VIII wariant - \(■ 3 ■ 2\)
· Cyfrą tysięcy może być jedna z siedmiu cyfr (od \(1\) do \(9\), bez \(0, 2\) oraz \(3\)), zatem mamy tutaj \(7\) możliwości.
· Cyfrą dziesiątek może być jedna z ośmiu cyfr (od \(0\) do \(9\), bez \(2\) oraz \(3\)), zatem mamy tutaj \(8\) możliwości.

To oznacza, że takich liczb jesteśmy w stanie ułożyć \(7\cdot8=56\).

IX wariant - \(■ ■ 3 2\)
· Cyfrą tysięcy może być jedna z siedmiu cyfr (od \(1\) do \(9\), bez \(0, 2\) oraz \(3\)), zatem mamy tutaj \(7\) możliwości.
· Cyfrą setek może być jedna z ośmiu cyfr (od \(0\) do \(9\), bez \(2\) oraz \(3\)), zatem mamy tutaj \(8\) możliwości.

To oznacza, że takich liczb jesteśmy w stanie ułożyć \(7\cdot8=56\).

Teraz korzystając z reguły dodawania musimy zsumować wszystkie interesujące możliwości:
$$|A|=32+32+28+32+32+64+28+56+56=360$$

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{360}{9000}=\frac{1}{25}$$

Odpowiedź

\(P(A)=\frac{1}{25}\)

2 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments
Gabi

Skąd jest to zadanie?