Samochód przejechał 180km, jadąc ze stała prędkością. Gdyby jechał z prędkością o 30km/h większą

Samochód przejechał \(180km\), jadąc ze stała prędkością. Gdyby jechał z prędkością o \(30\frac{km}{h}\) większą, to czas przejazdu skróciłby się o godzinę. Z jaka prędkością jechał samochód?

Rozwiązanie

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
\(s=180\) - pokonana trasa (w \(km\))
\(v_{1}\) - prędkość jazdy samochodu (w \(\frac{km}{h}\))
\(v_{2}=v_{1}+30\) - prędkość jazdy samochodu (w \(\frac{km}{h}\)), gdy samochód zwiększa prędkość o \(30\frac{km}{h}\)
\(t_{1}\) - czas jazdy (w godzinach)
\(t_{2}=t_{1}-1\) - czas jazdy (w godzinach), gdy samochód jedzie szybciej


Krok 2. Utworzenie i rozwiązanie układu równań.
Skorzystamy teraz ze wzoru na drogę \(s=vt\) i zapiszemy relację dotyczącą prędkości jazdy w obydwu przypadkach w formie układu równań:
$$\begin{cases}
s=v_{1}\cdot t_{1} \\
s=v_{2}\cdot t_{2}
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
180=v_{1}\cdot t_{1} \\
180=v_{2}\cdot t_{2}
\end{cases}$$

Podstawiając pod drugie równanie dane z kroku pierwszego otrzymamy:
$$\begin{cases}
180=v_{1}\cdot t_{1} \\
180=(v_{1}+30)\cdot (t_{1}-1)
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
v_{1}=\frac{t_{1}}{180} \\
180=(v_{1}+30)\cdot (t_{1}-1)
\end{cases}$$

Teraz skorzystamy z metody podstawiania i podstawimy \(v_{1}\) z pierwszego równania do drugiego:
$$180=\left(\frac{t_{1}}{180}+30\right)\cdot (t_{1}-1)$$

Wymnażając poszczególne nawiasy i upraszczając zapis do postaci ogólnej otrzymamy:
$$180=180-\frac{180}{t_{1}}+30t_{1}-30 \quad\bigg/-180 \\
-\frac{180}{t_{1}}+30t_{1}-30=0 \quad\bigg/\cdot t_{1} \\
-180+30t_{1}^2-30t_{1}=0 \quad\bigg/:30 \\
-6+t_{1}^2-t_{1}=0 \\
t_{1}^2-t_{1}-6=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-1,\;c=-6\)
$$Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)=1-(-24)=25 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{25}=5$$

$$t_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)-5}{2\cdot1}=\frac{1-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2 \\
t_{1}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)+5}{2\cdot1}=\frac{1+5}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Ujemny wynik musimy odrzucić, bowiem czas nie może być ujemny. To oznacza, że \(t_{1}=3\).

Krok 4. Obliczenie prędkości jazdy samochodu.
Znamy długość drogi \(s=180km\), wiemy też że czas jazdy wynosi \(t_{1}=3h\), zatem bez problemu obliczymy prędkość auta:
$$v=\frac{s}{t} \\
v=\frac{180km}{3h} \\
v=60\frac{km}{h}$$

Odpowiedź

\(v=60\frac{km}{h}\)

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments