Rozwiąż równanie x^2-9/x+3=1-x

Rozwiąż równanie \(\frac{x^2-9}{x+3}=1-x\).

Rozwiązanie

Krok 1. Zapisanie założeń.
Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to wartość w mianowniku musi być różna od zera. Z tego też względu:
$$x+3\neq0 \\
x\neq-3$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
To równanie najprościej jest rozwiązać dostrzegając, że zgodnie ze wzorami skróconego mnożenia \(x^2-9\) to jest to samo co \((x+3)(x-3)\). Kiedy dostrzeżemy ten fakt, to całe zadanie jest już bardzo proste:
$$\frac{x^2-9}{x+3}=1-x \\
\frac{(x+3)(x-3)}{x+3}=1-x \\
x-3=1-x \\
2x=4 \\
x=2$$

Otrzymane rozwiązanie nie wyklucza się z założeniami, zatem poprawną odpowiedzią będzie \(x=2\).

Gdybyśmy jednak nie dostrzegli tego sprytnego sposobu, to nie pozostaje nam nic innego jak wymnożyć lewą i prawą stronę przez \(x+3\), otrzymując:
$$\frac{x^2-9}{x+3}=1-x \quad\bigg/\cdot (x+3) \\
x^2-9=(1-x)(x+3) \\
x^2-9=x+3-x^2-3x \\
x^2-9=-x^2-2x+3 \\
2x^2+2x-12=0$$

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem możemy skorzystać z niezawodnej delty:
Współczynniki: \(a=2,\;b=2,\;c=-12\)
$$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot2\cdot(-12)=4-(-96)=4+96=100 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{100}=10$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2-10}{2\cdot2}=\frac{-12}{4}=-3 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2+10}{2\cdot2}=\frac{8}{4}=2$$

Ale to nie koniec, bo musimy jeszcze sprawdzić zgodność z założeniami. Okazuje się, że rozwiązanie \(x=-3\) musimy odrzucić, zatem jedynym rozwiązaniem jakie nam zostanie będzie \(x=2\).

Odpowiedź

\(x=2\)

Dodaj komentarz