Rozwiąż równanie x(x+1)/x-1=5x-4, dla x≠1

Rozwiąż równanie \(\frac{x(x+1)}{x-1}=5x-4\), dla \(x\neq1\).

Rozwiązanie:
Krok 1. Rozwiązanie równania.

Rozwiązanie tego równania najlepiej jest rozpocząć od wymnożenia obydwu stron przez \((x-1)\). Możemy to zrobić, bo wiemy że \(x\neq1\), zatem:
$$\frac{x(x+1)}{x-1}=5x-4 \quad\bigg/\cdot(x-1) \\
x(x+1)=(5x-4)\cdot(x-1) \\
x^2+x=5x^2-5x-4x+4 \\
4x^2-10x+4=0 \quad\bigg/:2 \\
2x^2-5x+2=0$$

W ostatnim kroku zostało wykonane dzielenie przez \(2\), tak aby uprościć zapis i by wykonywać działania na mniejszych liczbach. Nie jest to działanie niezbędne do otrzymania prawidłowego wyniku.

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.

Współczynniki: \(a=2,\;b=-5,\;c=2\)
$$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot2\cdot2=25-16=9 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{9}=3$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)-3}{2\cdot2}=\frac{5-3}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)+3}{2\cdot2}=\frac{5+3}{4}=\frac{8}{4}=2$$

Żadne z rozwiązań nie wyklucza się z założeniami, zatem to równanie ma dwa rozwiązania: \(x=\frac{1}{2}\) oraz \(x=2\).

Odpowiedź:

\(x=\frac{1}{2}\) oraz \(x=2\)

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.