Rozwiąż równanie \(\frac{x(x+1)}{x-1}=5x-4\), dla \(x\neq1\).
Rozwiązanie tego równania najlepiej jest rozpocząć od wymnożenia obydwu stron przez \((x-1)\). Możemy to zrobić, bo wiemy że \(x\neq1\), zatem:
$$\frac{x(x+1)}{x-1}=5x-4 \quad\bigg/\cdot(x-1) \\
x(x+1)=(5x-4)\cdot(x-1) \\
x^2+x=5x^2-5x-4x+4 \\
4x^2-10x+4=0 \quad\bigg/:2 \\
2x^2-5x+2=0$$
W ostatnim kroku zostało wykonane dzielenie przez \(2\), tak aby uprościć zapis i by wykonywać działania na mniejszych liczbach. Nie jest to działanie niezbędne do otrzymania prawidłowego wyniku.
Współczynniki: \(a=2,\;b=-5,\;c=2\)
$$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot2\cdot2=25-16=9 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{9}=3$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)-3}{2\cdot2}=\frac{5-3}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)+3}{2\cdot2}=\frac{5+3}{4}=\frac{8}{4}=2$$
Żadne z rozwiązań nie wyklucza się z założeniami, zatem to równanie ma dwa rozwiązania: \(x=\frac{1}{2}\) oraz \(x=2\).
\(x=\frac{1}{2}\) oraz \(x=2\)
Czy rysujemy parabole?
Nie ma takiej potrzeby, bo to nie jest nierówność, tylko równanie ;)
x2+x=5×2−5x−4x+4
4×2−10x+4=0/:2
mam pytanie do tego na którą stronę to przerzuciłeś bo mi się znaki nie zgadzają jeśli na L to inaczej a jeśli na P to inaczej. Czekam na wytłumaczenie
Na prawą przerzucałem, bo tak jest łatwiej :) Jak masz problemy z takimi obliczeniami, to polecam wykonać to sobie krok po kroczku. Zwróć uwagę na to, że mamy tak naprawdę:
x^2+x=5x^2-9x+4
Teraz jak odejmiemy obustronnie x^2 to zostaje nam x=4x^2-9x+4, no i jeszcze jak odejmiemy x to będziemy mieć 0=4x^2-10x+4, czyli właśnie 4x^2-10+4=0 :)
A to ma jakieś znaczenie na która stronę się przerzuca? Bo przerzuciłem pierw na lewa ale zobaczyłem ze wyniki się nie zgadzają i zobaczyłem ze ty przerzuciłeś na prawa i dlatego wyszło coś innego.
Nie ma znaczenia :) Prawdopodobnie wyszło Ci -4x^2+10x-4=0. Jak tak, to też masz dobrze – policz z tego deltę, x1 oraz x2 i otrzymasz te same rozwiązania (pamiętaj, że wtedy parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu) :)
Zapis 4x^2-10x+4=0 oraz -4x^2+10x-4=0 oznacza to samo, o czym możesz przekonać się mnożąc któryś z nich obustronnie przez -1 :)
Czy jeśli wyszło mi x1=2 a x2=1/2, to czy nadal jest dobrze? Czy musi być koniecznie x1=1/2 a x2=2?
Oczywiście, że jest dobrze :)