Rozwiązanie
Krok 1. Zapisanie założeń.
Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to wartość naszych mianowników musi być od tego zera różna. Musimy więc zapisać następujące założenia:
$$x-1=\neq0 \quad\lor\quad 2x-2\neq0 \\
x\neq1 \quad\lor\quad 2x\neq2 \\
x\neq1 \quad\lor\quad x\neq1$$
Z obydwu równań wyszło nam to samo założenie, czyli że \(x\neq1\).
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Do rozwiązania można podejść na różne sposoby, ale chyba taką najpopularniejszą metodą będzie po prostu wymnożenie tego na krzyż, zatem:
$$(x+3)\cdot(2x-2)=(x-1)\cdot x \\
2x^2-2x+6x-6=x^2-x \\
2x^2+4x-6=x^2-x \\
x^2+5x-6=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: \(a=1,\;b=5,\;c=-6\)
$$Δ=b^2-4ac=5^2-4\cdot1\cdot(-6)=25-(-24)=25+24=49 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5-7}{2\cdot1}=\frac{-12}{2}=-6 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5+7}{2\cdot1}=\frac{2}{2}=1$$
Krok 4. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Otrzymane wyniki musimy jeszcze zweryfikować z założeniami. Okazuje się, że rozwiązanie \(x=1\) musimy odrzucić, ponieważ jak ustaliliśmy na początku, dla tej wartości mianownik ułamka jest równy zero. To oznacza, że jedynym rozwiązaniem tego równania będzie \(x=-6\).
