Rozwiązanie
Krok 1. Doprowadzenie do postaci ogólnej.
Rozwiązywanie powinniśmy zacząć od przekształcenia naszej nierówności w taki sposób, by otrzymać postać ogólną, zatem:
$$x(x-6)\le7 \\
x^2-6x\le7 \\
x^2-6x-7\le0$$
Krok 2. Wyznaczenie miejsc zerowych.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-6,\;c=-7\)
$$Δ=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot1\cdot(-7)=36-(-28)=36+28=64 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{64}=8$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-6)-8}{2\cdot1}=\frac{6-8}{2}=\frac{-2}{2}=-1 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-6)+8}{2\cdot1}=\frac{6+8}{2}=\frac{14}{2}=7$$
Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Zaznaczamy na osi obliczone miejsca zerowe (kropki zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\le\)) i przystępujemy do szkicowania paraboli. Współczynnik \(a\) jest dodatni, bo \(a=1\), więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Nasza parabola musi więc wyglądać w ten sposób:
Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas miejsca w których funkcja przyjmuje wartości mniejsze od zera lub równe zero. Zerkamy więc na to, co jest pod osią \(Ox\) i na tej osi, i widzimy, że rozwiązaniem tej nierówności będzie przedział \(x\in\langle-1,7\rangle\).
