Rozwiąż nierówność: x(x-4)≤(2x+1)(x-4)

Rozwiąż nierówność: \(x(x-4)\le(2x+1)(x-4)\).

Rozwiązanie

Krok 1. Zapisanie nierówności w postaci ogólnej (lub iloczynowej).
Aby przystąpić do rozwiązywania nierówności musimy przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę, tak aby po prawej stronie było tylko \(0\). W związku z tym:
$$x(x-4)\le(2x+1)(x-4) \\
x(x-4)-(2x+1)(x-4)\le0$$

Tutaj się na chwilę zatrzymamy. Mamy tak naprawdę teraz dwie możliwości. Pierwszą z nich jest osiągnięcie postaci ogólnej, a więc mnożąc przez siebie te wszystkie nawiasy otrzymamy:
$$x(x-4)-(2x+1)(x-4)\le0 \\
x^2-4x-(2x^2-8x+x-4)\le0 \\
x^2-4x-2x^2+8x-x+4\le0 \\
-x^2+3x+4\le0$$

Jednak tutaj da się postąpić nieco sprytniej i możemy tę nierówność zapisać w postaci iloczynowej, dzięki czemu później szybciej wyznaczymy miejsca zerowe (uwaga na znaki!):
$$x(x-4)-(2x+1)(x-4)\le0 \\
(x-2x-1)(x-4)\le0 \\
(-x-1)(x-4)\le0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Jeżeli mamy postać ogólną to miejsca zerowe obliczymy z użyciem klasycznej delty:
Współczynniki: \(a=-1,\;b=3,\;c=4\)
$$Δ=b^2-4ac=3^2-4\cdot(-1)\cdot4=9-(-16)=9+16=25 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{25}=5$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3-5}{2\cdot(-1)}=\frac{-8}{-2}=4 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3+5}{2\cdot(-1)}=\frac{2}{-2}=-1$$

Jeżeli mieliśmy postać iloczynową, to wartość każdego z nawiasów musimy teraz przyrównać do zera:
$$-x-1=0 \quad\lor\quad x-4=0 \\
x=-1 \quad\lor\quad x=4$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a\) jest ujemny, bo \(a=-1\), więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu. Zaznaczamy więc obliczone przed chwilą miejsca zerowe (kropki zamalowane, bo w nierówności mamy znak \(\le\)) i nasza parabola będzie wyglądać w ten sposób:
matura z matematyki

Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas miejsca w których funkcja przyjmuje wartości mniejsze od zera. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest przedział \(x\in(-\infty;-1)\cup(4;+\infty)\).

Odpowiedź

\(x\in(-\infty;-1)\cup(4;+\infty)\)

Dodaj komentarz