Rozwiąż nierówność x(7x+2)>7x+2

Rozwiąż nierówność \(x(7x+2)\gt7x+2\).

Rozwiązanie

Przyglądając się tej nierówności dość kuszącą wydaje się opcja, by podzielić lewą i prawą stronę równania przez wartość \(7x+2\). To nie jest zły pomysł, ale trzeba być bardzo świadomym tego co liczymy. W nierównościach najbardziej problematyczny jest znak większości/mniejszości, który musimy odwrócić mnożąc lub dzieląc nierówność przez liczbę ujemną. Nie możemy więc tak bezrefleksyjnie podzielić obu stron przez \(7x+2\) i zapisać, że w takim razie \(x\gt1\), bo jest to prawda tylko w sytuacji, gdy nasze \(7x+2\) jest liczbą dodatnią. Kiedy \(7x-2\) jest liczbą ujemną, to należałoby odwrócić znak.

Jeżeli więc nie potrafimy rozwiązywać nierówności w ten sposób, to najprościej i przede wszystkim najbezpieczniej będzie rozwiązać tę nierówność tak jak każdą inną, czyli doprowadzając ją do postaci ogólnej i licząc deltę.

Krok 1. Zapisanie nierówności w postaci ogólnej.
Aby przystąpić do wykonywania obliczeń musimy wymnożyć iksa przez wartość w nawiasie oraz przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę, tak aby po prawej stronie zostało nam tylko zero. Zatem:
$$x(7x+2)\gt7x+2 \\
7x^2+2x\gt7x+2 \\
7x^2-5x-2\gt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Powstała nam nierówność kwadratowa, zatem musimy najpierw obliczyć miejsca zerowe, a zrobimy to tradycyjnie przy pomocy delty:
Współczynniki: \(a=7,\;b=-5,\;c=-2\)
$$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot7\cdot(-2)=25-(-56)=25+56=81 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{81}=9$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)-9}{2\cdot7}=\frac{5-9}{14}=\frac{-4}{14}=-\frac{2}{7} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)+9}{2\cdot7}=\frac{5+9}{14}=\frac{14}{14}=1$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a\) był dodatni, więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu. Zaznaczamy na osi wyliczone przed chwilą miejsca zerowe (z pustymi kropkami, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)).

matura z matematyki

Szukamy argumentów dla których funkcja przyjmuje wartości większe od zera, a więc interesować nas będzie przedział:
$$x\in\left(-\infty;-\frac{2}{7}\right)\cup\left(1;+\infty\right)$$

Odpowiedź

\(x\in\left(-\infty;-\frac{2}{7}\right)\cup\left(1;+\infty\right)\)

Dodaj komentarz