Rozwiązanie
Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej.
Rozwiązywanie nierówności powinniśmy zacząć od przeniesienia wszystkich wyrazów na lewą stronę, wykonując przy okazji mnożenie z lewej strony, a całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$x(3x-1)+4\lt7x \\
3x^2-x+4-7x\lt0 \\
3x^2-8x+4\lt0$$
Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=3,\;b=-8,\;c=4\)
$$Δ=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot3\cdot4=64-48=16 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{16}=4$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)-4}{2\cdot3}=\frac{8-4}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)+4}{2\cdot3}=\frac{8+4}{6}=\frac{12}{2}=2$$
Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=\frac{2}{3}\) oraz \(x=2\) (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\lt\)) i rysujemy parabolę:
Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wyniki mniejsze lub równe zero, zatem interesuje nas to co znalazło się pod osią (wraz z zamalowanymi kropkami). To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest przedział:
$$x\in\langle\frac{2}{3};2\rangle$$
