Rozwiązanie
Krok 1. Rozwiązanie nierówności.
Na początek ważna uwaga - mamy nierówność, czyli musimy pamiętać, że gdy mnożymy lub dzielimy obydwie strony przez liczbę ujemną, to trzeba zmienić znak na przeciwny. To też sprawia, że musimy unikać mnożenia lub dzielenia obydwu stron przez \(x\).
Aby rozwiązać nierówność, musimy przenieść iksy na lewą stronę, a liczby na prawą. Najprościej będzie to zrobić w ten sposób:
$$2x\ge\sqrt{5}\cdot x+3\sqrt{5}-6 \quad\bigg/-(\sqrt{5}\cdot x) \\
2x-\sqrt{5}x\ge3\sqrt{5}-6 \\
(2-\sqrt{5})x\ge3\sqrt{5}-6 \quad\bigg/:(2-\sqrt{5}) \\
x\le\frac{3\sqrt{5}-6}{2-\sqrt{5}}$$
Wyrażenie \(2-\sqrt{5}\) jest ujemne, dlatego dzieląc obydwie strony przez tą wartość, musieliśmy zmienić znak nierówności na przeciwny.
Krok 2. Uproszczenie zapisu.
W otrzymanym wyniku dobrze byłoby jeszcze usunąć niewymierność z mianownika, zwłaszcza, że to dość mocno uprości nam cały zapis. Jak jesteśmy spostrzegawczy, to dostrzeżemy, że wyrażenie w liczniku da się zapisać jako \(3\cdot(2-\sqrt{5})\), przez co licznik i mianownik nam się skrócą. Jeśli jednak tego nie dostrzegliśmy, to możemy standardowo wymnożyć licznik oraz mianownik przez \(2+\sqrt{5}\), dzięki czemu w mianowniku skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\), zatem:
$$x\le\frac{(3\sqrt{5}-6)\cdot(2+\sqrt{5})}{(2-\sqrt{5})\cdot(2+\sqrt{5})} \\
x\le\frac{6\sqrt{5}+3\cdot5-12-6\sqrt{5}}{2^2-(\sqrt{5})^2} \\
x\le\frac{15-12}{4-5} \\
x\le\frac{3}{-1} \\
x\le-3$$
Krok 3. Podanie największej liczby całkowitej spełniającej nierówność.
Zgodnie z treścią zadania, musimy jeszcze podać największą liczbę całkowitą, która spełnia tę nierówność. Wartość \(x\) musi być mniejsza lub równa \(-3\), więc największą liczbą będzie właśnie \(-3\).
