Rozwiąż nierówność \(3x-x^2\ge0\).
Taką nierówność jak każdą inną tego typu możemy rozwiązać metodą delty i za chwilę to zrobimy (zwłaszcza że jest tu pewna pułapka którą warto omówić). Jednak można tu się też pokusić o wyłączenie \(x\) przed nawias (o ile zauważymy taką możliwość). Otrzymalibyśmy wtedy \(x(3-x)\ge0\) i w ten oto sposób bardzo szybko moglibyśmy wyznaczyć miejsca zerowe – wystarczyłoby się zachować tak jak przy postaci iloczynowej i przyrównać odpowiednie wartości do zera, zatem:
$$x=0 \quad\lor\quad 3-x=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x=3$$
Gdybyśmy jednak chcieli to obliczyć za pomocą delty to zanim zaczniemy cokolwiek liczyć musimy uporządkować te wyrazy, tak aby kwadrat liczby znalazł się na początku zatem:
$$-x^2+3x\ge0$$
Dopiero teraz możemy wypisać współczynniki, pamiętając o tym że \(c=0\).
Współczynniki: \(a=-1,\;b=3,\;c=0\)
$$Δ=b^2-4ac=3^2-4\cdot(-1)\cdot0=9-0=9 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{9}=3$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3-3}{2\cdot(-1)}=\frac{-6}{-2}=3 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3+3}{2\cdot(-1)}=\frac{0}{-2}=0$$
Otrzymaliśmy dokładnie takie same wyniki jak przed chwilą.
Nasza parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu, bo przed \(x^2\) stoi znak minusa. Zaznaczamy na osi miejsca zerowe obliczone przed chwilą (kropki będą zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\ge\)) i rysujemy naszą parabolę.
Interesują nas wartości większe lub równe zero, stąd też przedziałem będącym rozwiązaniem tego zadania będzie: \(\langle0;3\rangle\).
\(\langle0;3\rangle\)
a nie lepiej x(3-x)>0
wtedy x=0 a (3-x) jest ze x=3
Ale przecież na samym na początku pokazałem, że można i tak ;)
jeżeli jest znak > lub = to wykres nie powinien wyglądać następująco : x należy (-nieskończoność; 0> lub <3;+nieskończoność) ?
Kształt wykresu nie zależy od znaku nierówności, tylko od tego jaki jest współczynnik liczbowy przed x^2 :) Tutaj mamy współczynnik ujemny (bo mamy -x^2), więc ramiona paraboli będą skierowane w dół. I dopiero teraz zerkając na szkic tej paraboli odczytujemy rozwiązania, uwzględniając znak nierówności (w tym przypadku interesują nas wartości większe lub równe zero).