Rozwiąż nierówność 3x-x^2≥0

Rozwiąż nierówność \(3x-x^2\ge0\).

Rozwiązanie:
Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.

Taką nierówność jak każdą inną tego typu możemy rozwiązać metodą delty i za chwilę to zrobimy (zwłaszcza że jest tu pewna pułapka którą warto omówić). Jednak można tu się też pokusić o zapisanie tej nierówności w postaci iloczynowej (o ile zauważymy taką możliwość). Otrzymalibyśmy wtedy \(x(3-x)\ge0\) i w ten oto sposób bardzo szybko wyznaczylibyśmy miejsca zerowe \(x=0\) oraz \(x=3\).

Gdybyśmy jednak chcieli to obliczyć za pomocą delty to zanim zaczniemy cokolwiek liczyć musimy uporządkować te wyrazy, tak aby kwadrat liczby znalazł się na początku zatem:
$$-x^2+3x\ge0$$

Dopiero teraz możemy wypisać współczynniki, pamiętając o tym że \(c=0\).
Współczynniki: \(a=-1,\;b=3,\;c=0\)
$$Δ=b^2-4ac=3^2-4\cdot(-1)\cdot0=9-0=9 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{9}=3$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3-3}{2\cdot(-1)}=\frac{-6}{-2}=3 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3+3}{2\cdot(-1)}=\frac{0}{-2}=0$$

Otrzymaliśmy dokładnie takie same wyniki jak z postaci iloczynowej.

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.

Nasza parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu, bo przed \(x^2\) stoi znak minusa. Zaznaczamy na osi miejsca zerowe obliczone przed chwilą (kropki będą zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\ge\)) i rysujemy naszą parabolę.

rozwiąż nierówność 3x-x2

Krok 3. Odczytanie rozwiązania.

Interesują nas wartości większe lub równe zero, stąd też przedziałem będącym rozwiązaniem tego zadania będzie: \(\langle0;3\rangle\).

Odpowiedź:

\(\langle0;3\rangle\)

Dodaj komentarz