Rozwiąż nierówność \(2x^2-4x\ge x-2\).
Aby móc w ogóle przystąpić do rozwiązywania tej nierówności musimy przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę. Otrzymamy więc:
$$2x^2-4x\ge x-2 \\
2x^2-5x+2\ge0$$
Współczynniki: \(a=2,\;b=-5,\;c=2\)
$$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot2\cdot2=25-16=9 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{9}=3$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)-3}{2\cdot2}=\frac{5-3}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)+3}{2\cdot2}=\frac{5+3}{4}=\frac{8}{4}=2$$
Ramiona paraboli będą skierowane do góry, bo współczynnik \(a\) jest dodatni. Zaznaczamy na osi obliczone przed chwilą miejsca zerowe (kropki będą zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\ge\)) i szkicujemy wykres paraboli:
Interesują nas argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie, więc rozwiązaniem nierówności będzie suma przedziałów:
$$x\in(-\infty;\frac{1}{2}\rangle \cup \langle2;+\infty)$$
\(x\in(-\infty;\frac{1}{2}\rangle \cup \langle2;+\infty)\)
