Rozwiąż nierówność 2x^2-4x>3x^2-6x

Rozwiąż nierówność \(2x^2-4x\gt3x^2-6x\).

Aby móc rozwiązać nierówność kwadratową za pomocą np. metodą delty musimy doprowadzić ją do ogólnej postaci typu \(ax^2+bx+c\), gdzie po prawej stronie takiej nierówności znajdzie się liczba \(0\). Krótko mówiąc – musimy przenieść wartość z prawej strony nierówności na lewą. Bardzo często o tym zapominamy, bo zazwyczaj na maturze nierówności są zapisane już w pożądanej postaci. Zatem:
$$2x^2-4x\gt3x^2-6x \\
2x^2-4x-3x^2+6x\gt0 \\
-x^2+2x\gt0$$

Miejsca zerowe naszej nierówności możemy obliczyć za pomocą metody delty. Trzeba tylko pamiętać, że w tym przypadku współczynnik \(c=0\). Jednak ta nierówność jest na tyle prosta, że przy wyznaczaniu miejsc zerowych możemy posłużyć się postacią iloczynową, wtedy:
$$-x^2+2x=0 \\
-x(x-2)=0 \\
-x=0 \quad\lor\quad x-2=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x=2$$

Nasza parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu, bo przed \(x^2\) stoi znak minusa. Po naniesieniu miejsc zerowych wyliczonych w drugim kroku otrzymamy:

Kropki przy \(x=0\) oraz \(x=2\) muszą być niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\).

Teraz musimy odczytać z wykresu dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie (czyli kiedy wykres jest nad osią). Widzimy wyraźnie, że wartości dodatnie funkcja przyjmuje dla \(x\in(0;2)\).

\(x\in(0;2)\)