Rozwiązanie
Tę nierówność możemy rozwiązać na różne sposoby, oto dwa z nich:
I sposób - korzystając z delty
Krok 1. Wymnożenie poszczególnych wyrazów.
Na początek spróbujmy doprowadzić zapis do postaci ogólnej, a w tym celu musimy wymnożyć wszystkie wyrazy znajdujące się po lewej stronie. Przyda nam się tu przy okazji wzór skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\), zatem:
$$(2x-1)^2-4(2x-1)\gt0 \\
4x^2-4x+1-(8x-4)\gt0 \\
4x^2-4x+1-8x+4\gt0 \\
4x^2-12x+5\gt0$$
Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=4,\;b=-12,\;c=5\)
$$Δ=b^2-4ac=(-12)^2-4\cdot4\cdot5=144-80=64 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{64}=8$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-12)-8}{2\cdot4}=\frac{12-8}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-12)+8}{2\cdot4}=\frac{12+8}{8}=\frac{20}{8}=2\frac{1}{2}$$
Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=\frac{1}{2}\) oraz \(x=2\frac{1}{2}\) (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)) i rysujemy parabolę:
Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wyniki większe od zera, zatem przyglądamy się temu co znalazło się nad osią. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest suma przedziałów:
$$x\in(-\infty;\frac{1}{2})\cup(2\frac{1}{2};+\infty)$$
II sposób - wyłączając wspólny czynnik przed nawias
Krok 1. Wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias.
Jeśli przyjrzymy się tej nierówności to zauważymy, że wspólnym elementem \((2x-1)^2\) oraz \(4(2x-1)\) jest \(2x-1\). Skoro tak, to możemy wyłączyć tę wartość przed nawias. Cały proces będzie wyglądał następująco:
$$(2x-1)^2-4(2x-1)\gt0 \\
(2x-1)\cdot(2x-1)-4(2x-1)\gt0 \\
(2x-1-4)\cdot(2x-1)\gt0 \\
(2x-5)\cdot(2x-1)\gt0$$
Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Mając taki zapis, poznanie miejsc zerowych jest bardzo proste, ponieważ wystarczy zachować się tak jak przy postaci iloczynowej, czyli przyrównać wartości w nawiasach do zera. W związku z tym:
$$2x-5=0 \quad\lor\quad 2x-1=0 \\
2x=5 \quad\lor\quad 2x=1 \\
x=2\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=\frac{1}{2}$$
Cała reszta rozwiązania jest już taka sama jak w trzecim i czwartym kroku I sposobu. Wyjdzie nam więc, że \(x\in(-\infty;\frac{1}{2})\cup(2\frac{1}{2};+\infty)\).
