Rozwiąż nierówność 20x≥4x^2+24

Rozwiąż nierówność $20x\ge4x^2+24$.

Rozwiązanie:

Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej.

Aby móc w ogóle zacząć obliczać deltę, to po lewej stronie nierówności musimy mieć postać ogólną typu $ax^2+bx+c$, a po prawej zero. Zatem przenosimy wszystko na lewą stronę i otrzymujemy:
$$20x\ge4x^2+24 \\
-4x^2+20x-24\ge0$$

Jeśli jesteśmy spostrzegawczy, to możemy podzielić obie strony równania przez $4$, a jeszcze lepiej byłoby podzielić przez $-4$. Dzięki temu będziemy wykonywali dalsze działania na nieco mniejszych liczbach i pozbędziemy się minusa przed $x^2$. Nie jest to jednak zabieg konieczny, więc jeśli tego nie dostrzeżesz, to nic się nie stanie. Pamiętaj tylko, że dzieląc nierówności przez wartość ujemną zmieniamy jej znak! Po podzieleniu obydwu stron przez $-4$ otrzymamy więc:
$$x^2-5x+6\le0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.

Współczynniki: $a=1,\;b=-5,\;c=6$
$$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)-1}{2\cdot1}=\frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)+1}{2\cdot1}=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.

Wiemy, że ramiona paraboli będą skierowane do góry, bo współczynnik $a$ jest większy od zera. Zaznaczamy na osi liczbowej wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe (kropki będą zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak $\le$) i szkicujemy naszą parabolę:

Krok 4. Odczytanie rozwiązania.

Interesują nas wartości mniejsze od zera, zatem rozwiązaniem tego równania będzie przedział $x\in\langle2;3\rangle$.

Odpowiedź:

$x\in\langle2;3\rangle$

Zadania

Rozwiąż nierówność 20x≥4x^2+24

Rozwiąż nierówność \(20x\ge4x^2+24\).