Rozwiązanie
Krok 1. Zapisanie zależności między bokami równoległoboku.
Równoległobok ma dwie pary boków jednakowej długości. Skoro więc obwód ten jest równy \(200\), to możemy zapisać, że:
$$2a+2b=200 \\
a+b=100 \\
b=100-a$$
Dodatkowo powinniśmy dostrzec, że długość boku \(b\) musi być dodatnia, stąd też:
$$100-a\gt0 \\
-a\gt-100 \\
a\lt100$$
Krok 2. Zapisanie zależności między polem powierzchni i długością boku \(a\).
$$P=a\cdot b\cdot sin30° \\
P=a\cdot(100-a)\cdot\frac{1}{2} \\
P=(100a-a^2)\cdot\frac{1}{2} \\
P=-\frac{1}{2}a^2+50a$$
Krok 3. Obliczenie współrzędnej \(p\) wierzchołka paraboli.
$$p=\frac{-b}{2a} \\
p=\frac{-50}{2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)} \\
p=\frac{-50}{-1} \\
p=50$$
Otrzymany wynik oznacza, że funkcja osiąga więc największą wartość dla argumentu równego \(50\), co w naszym przypadku oznacza, że \(a=50\).
Krok 4. Obliczenie długości \(b\).
Skoro \(a=50\), to zgodnie z zapisami z pierwszego kroku, długość drugiego boku tej figury będzie równa:
$$b=100-a \\
b=100-50 \\
b=50$$
To w praktyce oznacza, że poszukiwanym równoległobokiem będzie tak naprawdę romb o boku \(50\).
Krok 5. Obliczenie pola równoległoboku.
Musimy jeszcze obliczyć pole tego równoległoboku, zatem:
$$P=a\cdot b\cdot sin30° \\
P=50\cdot50\cdot\frac{1}{2} \\
P=2500\cdot\frac{1}{2} \\
P=1250$$
