Rozwiązanie
Krok 1. Zapisanie równań.
Przyjmijmy, że \(|AB|=x\), a tym samym \(|AE|=3x\). Dodatkowo oznaczmy trzecią krawędź \(|AD|=y\). Z treści zadania wynika, że suma wszystkich długości krawędzi jest równa \(48\), zatem:
$$4\cdot x+4\cdot y+4\cdot3x=48 \\
4x+4y+12x=48 \\
4y+16x=48 \\
4y=48-16x \\
y=12-4x$$
Pole powierzchni całkowitej moglibyśmy obliczyć jako:
$$P=2\cdot(x\cdot y+x\cdot3x+y\cdot3x) \\
P=2\cdot(xy+3x^2+3xy) \\
P=2\cdot(3x^2+4xy) \\
P=6x^2+8xy$$
Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji \(P(x)\).
Kluczem do sukcesu będzie zapisanie pola powierzchni w postaci funkcji z jedną zmienną, czyli zmienną \(x\). Aby tego dokonać, podstawmy wartość \(y\) z równania \(y=12-4x\) do równania \(P=6x^2+8xy\), zatem:
$$P=6x^2+8x\cdot(12-4x) \\
P=6x^2+96x-32x^2 \\
P=-26x^2+96x$$
Otrzymaliśmy informację, że pole powierzchni całkowitej można opisać wyrażeniem \(-26x^2+96x\). Całość możemy potraktować tak jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości \(x\) otrzymamy konkretną wartość \(P\)). Tym samym moglibyśmy zapisać, że \(P(x)=-26x^2+96x\).
Krok 3. Zapisanie założeń.
Wszystkie długości krawędzi muszą być większe od zera, zatem:
$$x\gt0 \quad\land\quad 3x\gt0 \quad\land\quad 12-4x\gt0 \\
x\gt0 \quad\land\quad x\gt0 \quad\land\quad -4x\gt-12 \\
x\gt0 \quad\land\quad x\gt0 \quad\land\quad x\lt3$$
Zwróć uwagę, że przy nierówności \(-4x\gt-12\) kiedy dzieliliśmy obydwie strony przez \(-4\), trzeba było zmienić znak nierówności na przeciwny. Otrzymane wyniki oznaczają, że nasz \(x\) musi być większy od zera i mniejszy od \(3\), zatem dziedziną tej funkcji będzie \(x\in(0,3)\).
Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, a tutaj ta parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu (bo współczynnik \(a=-26\)). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco (zwróć uwagę, że na pionowej osi nie mamy \(y\), tylko pole \(P\)):
Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego \(x\) to pole \(P\) będzie największe, a wiemy, że parabola skierowana ramionami do dołu osiągnie swoją największą wartość w wierzchołku. Obliczmy zatem dla jakiej długości \(x\) ta największa wartość jest przyjmowana, a pomoże nam w tym wzór na współrzędną \(x_{W}\) wierzchołka paraboli:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a} \\
x_{W}=\frac{-96}{2\cdot(-26)} \\
x_{W}=\frac{-96}{-52} \\
x_{W}=\frac{24}{13}$$
Otrzymany wynik mieści się w wyznaczonej wcześniej dziedzinie funkcji, a to oznacza, że pole powierzchni całkowitej graniastosłupa będzie największe, gdy \(x=\frac{24}{13}\).
