Rozszerzanie ułamków

Zgodnie z zasadą rozszerzania ułamków – aby tego dokonać musimy pomnożyć licznik i mianownik przez jednakową liczbę. Mamy więc całą masę możliwości wykonania takiego rozszerzenia, przykładowo:
$$\frac{2}{3}=\frac{2\cdot2}{3\cdot2}=\frac{4}{6} \\
\frac{2}{3}=\frac{2\cdot5}{3\cdot5}=\frac{10}{15} \\
\frac{2}{3}=\frac{2\cdot12}{3\cdot12}=\frac{24}{36}$$

Podobnie jak to miało miejsce w poprzednim przykładzie:
$$\frac{1}{4}=\frac{1\cdot2}{4\cdot2}=\frac{2}{8} \\
\frac{1}{4}=\frac{1\cdot3}{4\cdot3}=\frac{3}{12} \\
\frac{1}{4}=\frac{1\cdot5}{4\cdot5}=\frac{5}{20}$$

Tym razem mamy bardzo konkretną sytuację, czyli chcemy rozszerzyć ułamek \(\frac{3}{5}\) w taki sposób, by otrzymać postać w stylu \(\frac{■}{20}\). Niewiadomą pozostaje nam więc nasz licznik. Jak zatem rozwiązać ten przykład? Musimy się zastanowić przez ile trzeba pomnożyć piątkę znajdującą się w mianowniku, aby otrzymać \(20\). Oczywiście trzeba pomnożyć ten mianownik przez \(4\), bo \(5\cdot4=20\). Skoro tak, to zgodnie z zasadami rozszerzania ułamków także licznik musimy pomnożyć przez \(4\). W ten sposób otrzymamy:
$$\frac{3}{5}=\frac{3\cdot4}{5\cdot4}=\frac{12}{20}$$

To zadanie jest przykładem praktycznego zastosowania rozszerzania ułamków zwykłych. Aby porównać ułamki zwykłe musimy je rozszerzyć i to w taki sposób, aby jeden i drugi ułamek miał ten sam mianownik (tę operację nazywamy sprowadzaniem ułamków do wspólnego mianownika). Kiedy to zrobimy, to większym ułamkiem będzie ten, który ma większy licznik.

Jak się do tego zabrać? Musimy najpierw ustalić jaki powinien być ten nasz wspólny mianownik. W tym celu poszukujemy najmniejszej wspólnej wielokrotności (NWW) liczb \(3\) oraz \(10\). NWW w tym przypadku jest równe \(30\), zatem musimy rozszerzyć ułamki \(\frac{2}{3}\) oraz \(\frac{6}{10}\) w taki sposób, by w mianowniku miały liczbę \(30\). Zatem:
$$\frac{2}{3}=\frac{2\cdot10}{3\cdot10}=\frac{20}{30} \\
\frac{6}{10}=\frac{6\cdot3}{10\cdot3}=\frac{18}{30}$$

Zgodnie z tym co sobie ustaliliśmy – większym ułamkiem będzie ten, który przy wspólnych mianownikach ma większy licznik. Możemy więc powiedzieć, że \(\frac{20}{30}\gt\frac{18}{30}\), czyli tym samym \(\frac{2}{3}\gt\frac{6}{10}\).