Rozszerzanie ułamków

Rozszerzanie ułamków to czynność polegająca na pomnożeniu licznika i mianownika przez jednakową liczbę (różną od zera i jedynki). Z racji tego, że możemy wymnożyć licznik i mianownik przez dowolną liczbę, to tak naprawdę każdy ułamek zwykły da się rozszerzyć nieskończoną liczbę razy.

Po co wykonujemy rozszerzanie ułamków? Faktycznie dużo popularniejszą czynnością jest skracanie ułamków, natomiast rozszerzanie ułamków może przydać nam się do sprowadzenia ułamków do wspólnego licznika lub mianownika. Dzięki temu będziemy mogli wykonać np. dodawanie lub odejmowanie ułamków zwykłych, bądź też będziemy mogli porównać ze sobą dwa ułamki. Spójrzmy na konkretne przypadki i zobaczmy jak wykonać poprawnie rozszerzanie ułamków zwykłych.

Przykład 1. Rozszerz ułamek \(\frac{2}{3}\) na przynajmniej trzy sposoby.

Zgodnie z zasadą rozszerzania ułamków – aby tego dokonać musimy pomnożyć licznik i mianownik przez jednakową liczbę. Mamy więc całą masę możliwości wykonania takiego rozszerzenia, przykładowo:
$$\frac{2}{3}=\frac{2\cdot2}{3\cdot2}=\frac{4}{6} \\
\frac{2}{3}=\frac{2\cdot5}{3\cdot5}=\frac{10}{15} \\
\frac{2}{3}=\frac{2\cdot12}{3\cdot12}=\frac{24}{36}$$

Przykład 2. Rozszerz ułamek \(\frac{1}{4}\) na przynajmniej trzy sposoby.

Podobnie jak to miało miejsce w poprzednim przykładzie:
$$\frac{1}{4}=\frac{1\cdot2}{4\cdot2}=\frac{2}{8} \\
\frac{1}{4}=\frac{1\cdot3}{4\cdot3}=\frac{3}{12} \\
\frac{1}{4}=\frac{1\cdot5}{4\cdot5}=\frac{5}{20}$$

Przykład 3. Rozszerz ułamek \(\frac{3}{5}\) w taki sposób, by w mianowniku otrzymać liczbę \(20\).

Tym razem mamy bardzo konkretną sytuację, czyli chcemy rozszerzyć ułamek \(\frac{3}{5}\) w taki sposób, by otrzymać postać w stylu \(\frac{■}{20}\). Niewiadomą pozostaje nam więc nasz licznik. Jak zatem rozwiązać ten przykład? Musimy się zastanowić przez ile trzeba pomnożyć piątkę znajdującą się w mianowniku, aby otrzymać \(20\). Oczywiście trzeba pomnożyć ten mianownik przez \(4\), bo \(5\cdot4=20\). Skoro tak, to zgodnie z zasadami rozszerzania ułamków także licznik musimy pomnożyć przez \(4\). W ten sposób otrzymamy:
$$\frac{3}{5}=\frac{3\cdot4}{5\cdot4}=\frac{12}{20}$$

Przykład 4. Który ułamek jest większy: \(\frac{2}{3}\) czy \(\frac{6}{10}\).

To zadanie jest przykładem praktycznego zastosowania rozszerzania ułamków zwykłych. Aby porównać ułamki zwykłe musimy je rozszerzyć i to w taki sposób, aby jeden i drugi ułamek miał ten sam mianownik (tę operację nazywamy sprowadzaniem ułamków do wspólnego mianownika). Kiedy to zrobimy, to większym ułamkiem będzie ten, który ma większy licznik.

Jak się do tego zabrać? Musimy najpierw ustalić jaki powinien być ten nasz wspólny mianownik. W tym celu poszukujemy najmniejszej wspólnej wielokrotności (NWW) liczb \(3\) oraz \(10\). NWW w tym przypadku jest równe \(30\), zatem musimy rozszerzyć ułamki \(\frac{2}{3}\) oraz \(\frac{6}{10}\) w taki sposób, by w mianowniku miały liczbę \(30\). Zatem:
$$\frac{2}{3}=\frac{2\cdot10}{3\cdot10}=\frac{20}{30} \\
\frac{6}{10}=\frac{6\cdot3}{10\cdot3}=\frac{18}{30}$$

Zgodnie z tym co sobie ustaliliśmy – większym ułamkiem będzie ten, który przy wspólnych mianownikach ma większy licznik. Możemy więc powiedzieć, że \(\frac{20}{30}\gt\frac{18}{30}\), czyli tym samym \(\frac{2}{3}\gt\frac{6}{10}\).

Podsumowując: Chcąc rozszerzyć ułamek musimy pomnożyć licznik oraz mianownik przez tą samą liczbę, różną od \(0\) oraz \(1\).
Pamiętaj! Rozszerzenie ułamków nie zmienia ich ostatecznej wartości. Po rozszerzeniu wartość ułamka pozostaje cały czas taka sama jak przed rozszerzeniem.
Zobacz też: Skracanie ułamków

2
Dodaj komentarz

majadyndał123465:):(

pomogło:)

RENIA

super