Rozwiązanie
Krok 1. Zapisanie równań.
Skoro różnica naszych liczb \(x\) i \(y\) ma być równa \(8\), to możemy zapisać pierwsze równanie, które od razu możemy przekształcić:
$$x-y=8$$
Wiemy też, że wyrażenie \(W\) da się opisać jako:
$$W(x)=2y+3\cdot(x-1)^2$$
Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji kwadratowej.
Z pierwszego równania wynika, że \(y=x-8\). Podstawiając teraz to do naszego zapisanego wyrażenia \(W(x)=2y+3\cdot(x-1)^2\), otrzymamy następującą sytuację:
$$W(x)=2\cdot(x-8)+3\cdot(x-1)^2 \\
W(x)=2x-16+3\cdot(x^2-2x+1) \\
W(x)=2x-16+3x^2-6x+3 \\
W(x)=3x^2-4x-13$$
Całość możemy potraktować tak jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości \(x\) otrzymamy konkretną wartość \(W\)).
Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, a tutaj ta parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry (bo współczynnik \(a=3\)). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco:
Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego \(x\) to wyrażenie będzie najmniejsze, a wiemy, że parabola skierowana ramionami do góry osiągnie swoją najmniejszą wartość w wierzchołku. Obliczmy zatem dla jakiej wartości \(x\) ta najmniejsza wartość jest przyjmowana, a pomoże nam w tym wzór na współrzędną \(x_{W}\) wierzchołka paraboli:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a} \\
x_{W}=\frac{-(-4)}{2\cdot3} \\
x_{W}=\frac{4}{6} \\
x_{W}=\frac{2}{3}$$
Proszą nas też o podanie wartości \(y\), zatem skoro \(y=x-8\), to:
$$y=\frac{2}{3}-8 \\
y=-7\frac{1}{3}$$
No i na koniec musimy jeszcze obliczyć jaka jest ta najmniejsza wartość. Moglibyśmy obliczyć drugą współrzędną wierzchołka paraboli, ale do tego będzie potrzebna delta i ogólnie obliczenia będą nieco dłuższe. Wystarczy podstawić \(x=\frac{2}{3}\) do naszego wyrażenia i tym samym obliczymy najmniejszą wartość tego wyrażenia, zatem:
$$W\left(\frac{2}{3}\right)=3\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^2-4\cdot\frac{2}{3}-13 \\
W\left(\frac{2}{3}\right)=3\cdot\frac{4}{9}-\frac{8}{3}-13 \\
W\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}-13 \\
W\left(\frac{2}{3}\right)=-14\frac{1}{3}$$
