Czym są równania wymierne? Jak rozwiązywać takie równania i jakie pułapki na nas czyhają w tym temacie? Właśnie o tym porozmawiamy sobie w tym temacie.
Równanie wymierne
Równania wymierne charakteryzują się zazwyczaj tym, że w ich zapisie pojawi nam się ułamek, który w swoim mianowniku będzie miał niewiadomą (zazwyczaj \(x\)). Przykładowo równaniami wymiernymi będą więc:
$$\frac{4}{x+6}=2\quad\quad\quad\frac{4x+6}{3x}=\frac{1}{x}\quad\quad\quad\frac{x^2-4}{2x}+7=0$$
Choć nie widać tego na pierwszy rzut oka, to niestety równania wymierne mają jedną problematyczną kwestię, o której zawsze musimy pamiętać (i to tak naprawdę stanowi całą trudność tego tematu). Przez to, że niewiadoma \(x\) pojawia się w mianowniku, to zanim przystąpimy do rozwiązania, musimy jeszcze wyznaczyć dziedzinę.
Dziedzina równania wymiernego
Już ze szkoły podstawowej wiemy, że na matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\). Kreska ułamkowa jest formą dzielenia, więc wartość mianownika nigdy nie może być równa \(0\). To sprawia, że w równaniach wymiernych musimy zapisywać dziedzinę równania. Spójrzmy na równanie \(\dfrac{4}{x+6}=2\). Skoro mianownik musi być różny od zera, to wartość \(x+6\) także musi być różna od zera. Możemy zatem zapisać, że w takim przypadku:
$$x+6\neq0 \\
x\neq-6$$
To oznacza, że dziedziną równania \(\dfrac{4}{x+6}=2\) będą wszystkie liczby rzeczywiste oprócz \(-6\). Na matematyce będziemy często zapisywać, że \(x\in\mathbb{R}\backslash\{-6\}\) lub że \(D=\mathbb{R}\backslash\{-6\}\).
Rozwiązywanie równań wymiernych
Wróćmy do naszego równania \(\dfrac{4}{x+6}=2\). Jak możemy je rozwiązać? W tym przypadku należy pomnożyć obydwie strony równania przez \(x+6\), dzięki czemu otrzymamy:
$$\frac{4}{x+6}=2 \quad\bigg/\cdot(x+6) \\
4=2\cdot(x+6) \\
4=2x+12 \\
2x=-8 \\
x=-4$$
Weryfikacja otrzymanego wyniku
Ale uwaga, to nie koniec! W równaniach wymiernych zawsze musimy sprawdzić, czy przypadkiem otrzymane rozwiązanie nie wyklucza się z dziedziną. Ustaliliśmy sobie już, że w przypadku naszego równania \(x\) nie może być równy \(-6\) i na szczęście to założenie jest spełnione, bo my otrzymaliśmy informację, że rozwiązaniem równania jest \(x=-4\). Gdyby się okazało, że rozwiązanie wyklucza się z dziedziną, to trzeba byłoby taki wynik odrzucić.
Więcej przykładów równań wymiernych znajdziesz tutaj: