Równania liniowe

Na matematyce bardzo często posługujemy się pojęciem równanie liniowe oraz równanie kwadratowe. Z tym pierwszym spotkamy się w szkole podstawowej, a z tym drugim w szkole średniej. W tym temacie powiemy sobie czym jest właśnie równanie liniowe, podamy sobie przykłady takich równań oraz powiemy jakie te równania liniowe mogą przybrać postać.

Czym jest równanie liniowe?
Zacznijmy od tego co to jest w ogóle równanie. Na matematyce równaniem nazywamy połączenie wyrażeń algebraicznych (czyli np. \(3x\), \(7x-4\), \(\frac{1}{3}x+5\) itd.) za pomocą znaku równości. Równania liniowe to najprostsza postać takich równań, bowiem tutaj nasza niewiadoma (najczęściej \(x\)) jest poddawana jedynie dodawaniu, odejmowaniu, mnożeniu i dzieleniu. Przykładowo więc równaniem liniowym będzie:
\(2x=6\)
\(2x+3=15\)
\(\frac{1}{2}x+4=2\)
\(x+\sqrt{5}=9\) (to też jest równanie liniowe, bo to nie \(x\) jest pierwiastkowany)
\(2x+4=3x-6\) (niewiadoma może występować po lewej i prawej stronie równania)

Wszystkie powyższe przykłady to równania liniowe z jedną niewiadomą. Może się jednak zdarzyć, że równanie liniowe będzie posiadać więcej niewiadomych i wtedy otrzymamy równanie liniowe z dwoma/trzema/wieloma niewiadomymi:
\(2x+y=9\)
\(x+y+z=12\)
\(\frac{2}{3}x+\frac{1}{4}y=10\)

Co w takim razie nie będzie równaniem liniowym?
Może się zdarzyć, że nasza niewiadoma jest np. podniesiona do potęgi drugiej, albo jest pierwiastkowana, albo może być wyciągnięta z niej wartość bezwzględną. Wtedy takie równania nie będą równaniami liniowymi. Przykładowo:
\(x^2-4=0\) (to jest równanie kwadratowe, bo niewiadoma została podniesiona do kwadratu)
\(|x|-1=8\) (to jest równanie z wartością bezwzględną, bo niewiadoma została wzięta w nawias bezwzględności)
\(2^x=9\) (to jest równanie wykładnicze, bo niewiadoma znalazła się w wykładniku potęgi)

Co możemy zrobić z równaniem liniowym?
Istotą równań liniowych jest zazwyczaj ich rozwiązanie, czyli doprowadzenie do sytuacji w której po lewej stronie równania będziemy mieć samą niewiadomą, a po prawej będziemy mieć jedynie wartość liczbową. Otrzymane rozwiązanie mówi nam o tym jaką liczbę należy podstawić pod niewiadomą, aby lewa i prawa strona równania miała ten sam wynik (czyli była sobie równa).

Rozwiązania równań liniowych mogą więc wyglądać następująco:
\(x=3\)
\(a=\frac{1}{3}\)
\(b=\sqrt{3}\)

Aby rozwiązać równanie liniowe z jedną niewiadomą musimy więc dodawać, odejmować albo też mnożyć i dzielić obie strony tego równania, tak aby otrzymać oczekiwaną postać. Nieco trudniej jest w sytuacji kiedy mamy np. dwie niewiadome – wtedy aby rozwiązać takie równanie musimy mieć układ równań z którego to potem wyliczymy wartości poszukiwanych niewiadomych. O tym jak rozwiązujemy równania liniowe możesz przeczytać tutaj:

W wyjątkowych sytuacjach może się okazać, że rozwiązując równanie liniowe pozbędziemy się niewiadomej po lewej i prawej stronie, przez co zostanie nam wynik typu \(3=3\) lub też \(3=5\). W pierwszym przypadku będziemy mówić o równaniu tożsamościowym (czyli takim w którym rozwiązaniem są wszystkie liczby rzeczywiste), natomiast w drugim o sprzecznym (czyli takim w którym nie ma rozwiązań). Więcej na temat tych równań przeczytasz tutaj:

Dodaj komentarz