Rozwiązanie
Krok 1. Obliczenie wartości \(a_{3}\).
Z treści zadania wiemy, że suma pierwszych pięciu wyrazów jest równa \(10\), czyli:
$$S_{5}=10 \\
a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=10$$
Spróbujmy teraz każdy z tych wyrazów powiązać z \(a_{3}\). Dlaczego akurat z \(a_{3}\)? Jest to wyraz, który bardzo nam pasuje, bo nie dość, że jest środkowym wyrazem tej sumy (co jak się za chwilę okaże, ma spore znaczenie), to jeszcze występuje w ciągu geometrycznym. Z własności ciągów wiemy, że:
$$a_{1}=a_{3}-2r \\
a_{2}=a_{3}-r \\
a_{4}=a_{3}+r \\
a_{5}=a_{3}+2r$$
Możemy więc zapisać, że:
$$a_{3}-2r+a_{3}-r+a_{3}+a_{3}+r+a_{3}+2r=10$$
Wartości \(r\) występujące w równaniu tak naprawdę się nam skrócą i zostanie jedynie niewiadoma \(a_{3}\), zatem:
$$5a_{3}=10 \\
a_{3}=2$$
Krok 2. Wykorzystanie własności ciągów geometrycznych.
Paradoksalnie, różnicę ciągu arytmetycznego obliczymy korzystając z informacji na temat ciągu geometrycznego. Rozpiszmy sobie wartości \(a_{5}\) i \(a_{13}\), powiązując je z \(a_{3}\) (którego wartość już znamy, bowiem \(a_{3}=2\)):
$$a_{5}=a_{3}+2r=2+2r \\
a_{13}=a_{3}+10r=2+10r$$
Wiemy, że \(a_{3}, a_{5}, a_{13}\) tworząc ciąg geometryczny. Możemy skorzystać z jednej z własności ciągów geometrycznych i zapisać, że w takim razie:
$$\frac{a_{5}}{a_{3}}=\frac{a_{13}}{a_{5}} \\
\frac{2+2r}{2}=\frac{2+10r}{2+2r}$$
Mnożąc na krzyż, otrzymamy:
$$(2+2r)\cdot(2+2r)=2\cdot(2+10r)$$
Po lewej stronie równania możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)=a^2+2ab+b^2\), zatem:
$$4+8r+4r^2=4+20r \\
4r^2-12r=0 \\
r^2-3r=0$$
Krok 3. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Oczywiście możemy to zrobić przy pomocy delty (pamiętając, że tutaj współczynnik \(c=0\)), ale wiemy już, że takie równania kwadratowe możemy rozwiązać w znacznie prostszy sposób, wyłączając \(r\) przed nawias:
$$r^2-3r=0 \\
r\cdot(r-3)=0 \\
r=0 \quad\lor\quad r-3=0 \\
r=0 \quad\lor\quad r=3$$
Krok 4. Weryfikacja otrzymanego wyniku.
Otrzymaliśmy dwa wyniki, ale czy oba nam pasują? Z treści zadania wynika, że ciąg arytmetyczny jest rosnący, a to sprawia, że na pewno \(r\) nie może być równe \(0\), bo dla \(r=0\) nasz ciąg byłby stały. W związku z tym jedynym pasującym rozwiązaniem będzie \(r=3\).
Krok 5. Zapisanie wzoru ciągu.
Skorzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r$$
Widzimy, że musimy poznać jeszcze wartość \(a_{1}\), a skoro \(a_{3}=2\) oraz \(r=3\), to:
$$a_{1}=a_{3}-2r \\
a_{1}=2-2\cdot3 \\
a_{1}=2-6 \\
a_{1}=-4$$
Teraz możemy podstawić \(a_{1}=-4\) oraz \(r=3\) do wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, otrzymując:
$$a_{n}=-4+(n-1)\cdot3 \\
a_{n}=-4+3n-3 \\
a_{n}=3n-7$$
